[论文解读] Formal Languages in Dynamical Systems

G. Troll|ArXiv.org|May 21, 1993

Cellular Automata and Applications参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文在细胞自动机（CA）不变子移位与形式语言之间建立了范畴化的函子对应关系，表明子移位之间的拓扑共轭对应于语言之间的空字符串受限广义序列机。研究证明，形式语言复杂度的乔姆斯基层级在动力系统中成为共轭不变量，赋予其动力学意义，并使对混沌散射中束缚集内复杂度跃迁的研究成为可能。

ABSTRACT

We treat here the interrelation between formal languages and those dynamical systems that can be described by cellular automata (CA). There is a well-known injective map which identifies any CA-invariant subshift with a central formal language. However, in the special case of a symbolic dynamics, i.e. where the CA is just the shift map, one gets a stronger result: the identification map can be extended to a functor between the categories of symbolic dynamics and formal languages. This functor additionally maps topological conjugacies between subshifts to empty-string-limited generalized sequential machines between languages. If the periodic points form a dense set, a case which arises in a commonly used notion of chaotic dynamics, then an even more natural map to assign a formal language to a subshift is offered. This map extends to a functor, too. The Chomsky hierarchy measuring the complexity of formal languages can be transferred via either of these functors from formal languages to symbolic dynamics and proves to be a conjugacy invariant there. In this way it acquires a dynamical meaning. After reviewing some results of the complexity of CA-invariant subshifts, special attention is given to a new kind of invariant subshift: the trapped set, which originates from the theory of chaotic scattering and for which one can study complexity transitions.

研究动机与目标

• 将形式语言与动力系统之间的关系形式化，特别是那些由细胞自动机描述的动力系统。
• 将细胞自动机不变子移位与形式语言之间的单射映射扩展为保持拓扑共轭的函子结构。
• 研究形式语言复杂度的乔姆斯基层级如何转化为符号动力系统中的不变量。
• 引入并分析一类新的不变子移位——来自混沌散射的束缚集，可用于复杂度分析。

提出的方法

• 定义从符号动力系统范畴到形式语言范畴的函子，以移位映射作为基础动力系统。
• 构建从子移位到形式语言的映射，通过空字符串受限的广义序列机保持拓扑共轭性。
• 利用混沌系统中周期点的稠密性，为子移位定义自然的语言赋值。
• 应用乔姆斯基层级对语言复杂度进行分类，并证明其在动力系统上下文中对拓扑共轭保持不变。
• 将混沌散射中的束缚集概念引入，作为一类新的不变子移位，用于复杂度分析。
• 使用范畴语言统一形式语言理论与符号动力系统，实现动力系统与语言之间的结构比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将形式语言分配给细胞自动机中的子移位，以反映其动力学结构？
• RQ2 符号动力系统与形式语言之间的范畴关系是什么？它如何保持拓扑共轭性？
• RQ3 乔姆斯基层级能否作为动力系统中的共轭不变量，从而获得动力学意义？
• RQ4 在新引入的混沌散射束缚集中，复杂度跃迁如何表现？
• RQ5 周期点在为子移位定义自然语言表示中起什么作用？

主要发现

• 细胞自动机不变子移位与形式语言之间的识别映射扩展为函子，保持范畴结构与共轭性。
• 子移位之间的拓扑共轭被映射为语言之间的空字符串受限广义序列机，建立了结构对应关系。
• 形式语言复杂度的乔姆斯基层级在符号动力系统中成为共轭不变量，因而获得动力学意义。
• 当周期点稠密时——这是混沌动力学的典型特征——语言赋值变得尤为自然且行为良好。
• 来自混沌散射的束缚集提供了一类新的不变子移位，可在其中系统研究语言复杂度的跃迁。
• 函子框架使得语言理论中的复杂度度量可被转移至动力系统，从而产生新的不变量与分析工具。