[论文解读] Formal loops IV: Chiral differential operators

Mikhail Kapranov, Éric Vasserot|ArXiv.org|Dec 13, 2006

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 6被引用 11

一句话总结

本文通过辛作用同态 $ S: \Omega^{2,cl}_X \to \mathcal{O}^*_{{\cal L}X} $，在复流形 $X$ 上的chiral微分算子（CDO）层与形式环路空间 ${\cal L}X$ 上的行列式gerbe之间建立了深层的几何对应关系。关键结果将CDO层全局存在的障碍类识别为 ${\cal L}X$ 上的行列式异常，通过无限维 $\mathcal{D}$-模理论与因子化结构，解决了顶点代数几何中的一个核心问题。

ABSTRACT

We relate the gerbe of sheaves of chiral differential operators (CDO) on a algebraic variety X, studied by Gorbounov, Malikov and Schechtman, to the determinantal gerbe of the formal loop space LX introduced in our earlier paper. The liens of the two gerbes are related by a version of the symplectic action homomorphism. The determinantal gerbe of LX has a factorization structure in the spirit of Beilinson and Drinfeld. In our identification, sheaves of CDO correspond to factorizing objects of this factorization gerbe.

研究动机与目标

• 将复流形 $X$ 上的chiral微分算子（CDO）层与 ${\cal L}X$ 的几何联系起来。
• 通过将CDO层的全局构造障碍识别为 ${\cal L}X$ 上的行列式异常，解决其全局存在的障碍问题。
• 利用辛作用同态 $S$，在 $X$ 上的CDOgerbe与 ${\cal L}X$ 上的行列式gerbe之间建立规范对应关系。
• 为局部局部紧致的ind-概形上的 $\mathcal{D}$-模开发正则化整体截面函子，使能从Taylor环路上的 $\delta$-函数构造顶点代数。

提出的方法

• 为局部局部紧致的ind-概形上的 $\mathcal{D}$-模引入整体截面函子 $\Gamma_{\cal E}$，通过行列式gerbe正则化直接像函子因行列式修正而失效的问题。
• 利用辛作用同态 $S: \Omega^{2,cl}_X \to \mathcal{O}^*_{{\cal L}X}$，定义为 $\omega \mapsto \exp(\int d^{-1}\omega)$，将 $X$ 上的闭2-形式与 ${\cal L}X$ 上的因子化函数联系起来。
• 通过在Taylor环路空间上的 $\delta$-函数 $\delta_{{\cal L}^0 X}$ 的上推，构造CDO层，并利用行列式gerbe ${\cal D}et_{{\cal L}X}$ 进行正则化。
• 应用Beilinson-Drinfeld理论中的因子化结构，定义 $\Gamma_{\cal E}(\delta_{{\cal L}^0 X})$ 上的顶点代数结构，确保与辛作用的相容性。
• 建立拉回映射 $ev^*$ 与Contou-Carrère符号 $\partial$，将 $X$ 与 ${\cal L}X$ 上的 $K_2$-类联系起来，将陈示性类与障碍类关联。
• 证明CDOgerbe类在 $S_*$ 下的像等于 $\partial \circ ev^*$ 下的 $ch_2(\Theta_X)$ 的像，从而确认了两个gerbe的识别。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何几何地解释复流形 $X$ 上chiral微分算子层全局存在的障碍？
• RQ2 形式环路空间 ${\cal L}X$ 上的行列式gerbe与 $X$ 上的CDOgerbe之间的确切关系是什么？
• RQ3 是否能通过无限维 $\mathcal{D}$-模理论与因子化结构正则化CDO层的构造？
• RQ4 辛作用同态 $S$ 如何编码CDO中变量替换公式中的异常？
• RQ5 ${\cal L}X$ 上的因子化函数在多大程度上对应于Taylor环路上 $\delta$-函数整体截面的相容顶点代数结构？

主要发现

• CDO层全局存在的障碍类 $[\mathcal{CD}O_X] \in H^2(X, \Omega^{2,cl}_X)$ 由 $\frac{1}{2}c_1(X)^2 - c_2(X)$ 给出。
• 辛作用同态 $S: \Omega^{2,cl}_X \to \mathcal{O}^*_{{\cal L}X}$ 诱导了CDOgerbe的李代数与 ${\cal L}X$ 上行列式gerbe的李代数之间的同构，通过该映射识别了两个gerbe。
• 通过行列式gerbe ${\cal D}et_{{\cal L}X}$ 正则化的整体截面函子 $\Gamma_{\cal E}$ 在 $\Gamma_{\cal E}(\delta_{{\cal L}^0 X})$ 上给出一个良定义的顶点代数结构。
• CDOgerbe类 $[\mathcal{CD}O_X^{lt}]$ 在 $S_*$ 下的像等于 $H^2(X, \pi_*({\cal O}^*_{{\cal L}X})) \otimes \mathbb{Z}[1/2]$ 中的 $\partial(ev^*(ch_2(\Theta_X)))$ 类，确立了主要识别。
• 该构造证实，CDO中变量替换公式中的异常在无限维环路空间设定下几何地表现为法丛的行列式。
• 通过 $S$ 将CDOgerbe与 ${\cal L}X$ 上的行列式gerbe识别，为从 $X$ 上的几何数据构造顶点代数提供了规范的、无异常的框架。