[论文解读] Formal moduli problems and formal derived stacks

Damien Calaque, Julien Grivaux|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用 13

一句话总结

本文通过导出形变理论，建立了形式模问题与微分分次李代数之间的对应关系，推广了Drinfeld的哲学。它利用分次李代数丛将该框架扩展至非分裂形式模问题，并引入柯尔佐夫对偶方法来处理形变背景，统一了导出代数几何与形变理论在导出栈形式加厚的语境下。

ABSTRACT

This paper presents a survey on formal moduli problems. It starts with an introduction to pointed formal moduli problems and a sketch of proof of a Theorem (independently proven by Lurie and Pridham) which gives a precise mathematical formulation for Drinfeld's derived deformation theory philosophy, which gives a correspondence between formal moduli problems and differential graded Lie algebras. The second part deals with Lurie's general theory of deformation contexts, which we present in a slightly different way than the original paper, emphasising the (more symmetric) notion of Koszul duality contexts and morphisms thereof. In the third part, we explain how to apply this machinery to the case of non-split formal moduli problems under a given derived affine scheme; this situation has been dealt with recently by Joost Nuiten, and requires to replace differential graded Lie algebras with differential graded Lie algebroids. In the last part, we globalize this to the more general setting of formal thickenings of derived stacks, and suggest an alternative approach to results of Gaitsgory and Rozenblyum.

研究动机与目标

• 通过建立形式模问题与微分分次李代数之间的等价关系，形式化Drinfeld的导出形变理论哲学。
• 通过柯尔佐夫对偶背景重新表述Lurie的形变背景理论，以增强对偶性与概念清晰度。
• 利用分次李代数丛，将分次李代数对应关系推广至基导出概形 $Spec(A)$ 上的非分裂形式模问题。
• 通过研究导出栈的形式加厚，将理论推广至整体设定，提供对Gaitsgory与Rozenblyum结果的替代方案。
• 提供一个系统性框架，将切复形、形变函子与同伦代数在导出代数几何中联系起来。

提出的方法

• 使用 $\bar{\nabla}$-上同调与Maurer–Cartan形式化方法，通过分次李代数描述形变函子。
• 应用Lurie的形变背景理论，并通过柯尔佐夫对偶背景重新诠释，以强调对偶性与对称性。
• 引入分次李代数丛作为在基导出概形 $Spec(A)$ 上非分裂形式模问题的分次李代数的自然推广。
• 构造相对切复形，并利用其定义非分裂情形下的形变函子。
• 利用分次混合cdga与实现函子 $|{-}|$，将分次李代数丛与Chevalley–Eilenberg上链复形联系起来。
• 应用导出de Rham函子 $\text{DR}(-/B)$，将切复形的柯尔佐夫对偶与Chevalley–Eilenberg构造联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Drinfeld的导出形变理论哲学精确表述为 $∞$-范畴之间的等价？
• RQ2 柯尔佐夫对偶在组织形变背景及其之间态射的过程中起什么作用？
• RQ3 分次李代数丛如何在基导出概形上的非分裂形式模问题研究中取代分次李代数？
• RQ4 导出栈的形式加厚的全局结构是什么，它与局部形变理论有何关联？
• RQ5 能否通过柯尔佐夫对偶框架将形式模问题理论推广至仿射情形之外？

主要发现

• 在域 $ℚ$ 上，建立了点形式模问题的 $∞$-范畴与微分分次李代数的 $∞$-范畴之间的精确等价。
• 在一点处，形式模问题的切复形经 $[-1]$ 移位后，自然赋予 $L_∞$-代数结构，推广了Kapranov的结果。
• 对于 $Spec(A)$ 上的非分裂形式模问题，其形变理论由 $A$ 上的分次李代数丛控制，推广了分次李代数的情形。
• 形式模问题在 $Spec(A)$ 上的相对切复形同构于相关分次李代数丛的Chevalley–Eilenberg复形。
• 导出de Rham复形 $\text{DR}(A/B)$ 提供了Chevalley–Eilenberg构造的柯尔佐夫对偶，存在等价关系 $|\mathrm{CE}^\epsilon_{B/A}(\mathbb{T}_{A/B})| \simeq \mathrm{CE}^\bullet_{B/A}(\mathbb{T}_{A/B})$。
• 当 $\mathbb{L}_{A/B}$ 为凝聚且上有界时，映射 $\mathbb{DR}(A/B) \to \mathrm{CE}^\epsilon_{B/A}(\mathbb{T}_{A/B})$ 是等价的，验证了对偶性框架。