[论文解读] Formalising Inductive and Coinductive Containers

Damato, Stefania, Altenkirch, Thorsten+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 3被引用 17

一句话总结

本文通过在单纯集范畴中利用具有小于大基数 α 的纤维的通用有序 Kan 纤维丛 p<α，从单纯集范畴中的 Kan 纤维丛构造上下文范畴，引入了马丁-洛夫类型论的同伦等价模型。关键贡献在于证明了这些模型满足同伦等价公理——等价类型即相等——从而提供了数学形式化的一种语义，使得同构结构被识别，且此类结构的空间是收缩的，确保了同伦意义下的唯一性。

ABSTRACT

Containers capture the concept of strictly positive data types in programming. The original development of containers is done in the internal language of locally cartesian closed categories (LCCCs) with disjoint coproducts and W-types, and uniqueness of identity proofs (UIP) is implicitly assumed throughout. Although it is claimed that these developments can also be interpreted in extensional Martin-Löf type theory, this interpretation is not made explicit. In this paper, we present a formalisation of the results that "containers preserve least and greatest fixed points" in Cubical Agda, thereby giving a formulation in intensional type theory. Our proofs do not make use of UIP and thereby generalise the original results from talking about container functors on Set to container functors on the wild category of types. Our main incentive for using Cubical Agda is that its path type restores the equivalence between bisimulation and coinductive equality. Thus, besides developing container theory in a more general setting, we also demonstrate the usefulness of Cubical Agda’s path type to coinductive proofs.

研究动机与目标

• 建立马丁-洛夫类型论的新一类模型，使其满足同伦等价公理。
• 使用源自单纯集范畴中通用纤维丛的上下文范畴，形式化类型论的语义。
• 证明这些模型与 ZFC 一致，并支持数学的同伦一致形式化。
• 为类型系统与拟等式理论的初始模型之间建立系统性框架。
• 通过拟等式规格为类型论系统的形式化自动验证奠定基础。

提出的方法

• 从局部笛卡尔闭范畴 C 和具有拉回的 universum p: eU → U 构造上下文范畴 CC(C, p)。
• 以单纯集范畴 ∆opSets 作为基础模型，利用其作为格罗滕迪克拓扑和局部笛卡尔闭范畴的结构。
• 定义一个通用有序态射 eV<α → V<α，其纤维大小小于 α，从中提取一个通用 Kan 纤维丛 p<α: eU<α → U<α。
• 证明 U<α 是一个 Kan 单纯集（定理 5），确保良好的同伦行为。
• 证明 p<α 是同伦等价的（定理 7），即态射 mq: B → Eq(E×B, B×E) 是弱等价，这编码了同伦等价原理。
• 证明 p<α 上的结构空间（积、和、等式、类型族）是收缩的（定理 3），意味着本质唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个满足同伦等价公理且与 ZFC 一致的马丁-洛夫类型论模型？
• RQ2 如何将类型系统正式连接到拟等式理论的初始模型？
• RQ3 单纯集范畴中的 Kan 纤维丛在实现类型论的同伦语义中起什么作用？
• RQ4 在通用纤维丛 p<α 上的结构空间（如依赖积、等式）是否本质上唯一？
• RQ5 同伦等价模型能否用于形式化数学，使得同构结构被识别？

主要发现

• 上下文范畴 CC(∆opSets, p<α) 构成一个满足同伦等价公理的类型论同伦等价模型。
• p<α 上的结构空间（积、和、等式、类型族）是收缩的，确保这些结构在同伦意义下唯一。
• 纤维丛 p<α 是同伦等价的，这直接编码了等价类型即相等的原则。
• 该构造提供了一个满足同伦等价公理和排中律的类型论模型，证明了其相对于 ZFC 的一致性。
• 对应于类型系统的拟等式理论的初始模型可通过此构造在 ZFC 中实现。
• 该框架支持类型系统与其语义模型之间形式化、系统化且可能自动化的联系。