[论文解读] Formality conjecture for chains

Boris Tsygan|ArXiv.org|Apr 23, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 17

一句话总结

本文提出了关于光滑流形 $M$ 的 $C^{\infty}(M)$ 的 Hochschild 链复形与循环链复形的广义形式性猜想，将 Kontsevich 的链复形形式性定理推广至链复形情形。该猜想认为，Hochschild 链复形在 Gerstenhaber 代数的 $\epsilon$-形变上作为 $G_{\infty}$-模，与 de Rham 复形 quasi-isomorphic，且该 quasi-isomorphism 在 Hochschild 上链复形的作用下保持等变性。主要贡献在于通过同伦代数方法，构建了在形变量子化中计算迹与特征类的框架。

ABSTRACT

We state the analogs of Kontsevich's formality conjecture for Hochschild and cyclic chains, as well as their

研究动机与目标

• 将 Kontsevich 的 Hochschild 上链复形形式性定理推广至 Hochschild 与负循环链复形的情形。
• 猜想 $C^{\infty}(M)$ 的 Hochschild 链复形在 $\epsilon$-形变的 Gerstenhaber 代数上作为 $G_{\infty}$-模，与 de Rham 复形 quasi-isomorphic。
• 通过同伦代数方法，建立在形变量子化中计算迹与特征类（如 $\widehat{A}$-类）的框架。
• 通过引入 $G_{\infty}$-模结构与 $\epsilon$-形变，将形式性原理推广至链复形。
• 为 Connes 的 Hochschild 同调与负循环同调之间的 quasi-isomorphism 提供同伦代数基础，使其在 Hochschild 上链复形作用下保持等变性。

提出的方法

• 在 Hochschild 上链复形 $C^{\bullet}(A,A)$ 上引入 $G_{\infty}$-代数结构，扩展 Gerstenhaber 括号与微分。
• 通过奇参数 $\epsilon$ 定义 Gerstenhaber 代数的形变 $V^{\bullet}[\epsilon]$，以编码 BV 算子结构。
• 在 Hochschild 链复形 $C_{\bullet}(A,A)$ 上构造 $C^{\bullet}(A,A)[\epsilon]$-上的 $G_{\infty}$-模结构，其作用由 $L_D$ 算子给出。
• 利用 Tamarkin 的方法，证明 $C_{\bullet}(A,A)$ 上的 $G_{\infty}$-模结构的上同调恢复了 de Rham 复形 $\Omega^{\bullet}(M)$。
• 猜想 $C_{\bullet}(C^{\infty}(M),C^{\infty}(M))$ 与 $\Omega^{\bullet}(M)$ 之间存在 $G_{\infty}$-quasi-isomorphism，且与 $G_{\infty}$-模作用相容。
• 建立猜想的形式性与通过同伦理论方法构造 Poisson 流形 $\widehat{A}$-类之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\epsilon$-形变的 Gerstenhaber 代数上，$C^{\infty}(M)$ 的 Hochschild 链复形是否作为 $G_{\infty}$-模与 de Rham 复形 quasi-isomorphic？
• RQ2 Connes 的 Hochschild 同调与负循环同调之间的 quasi-isomorphism 是否可提升为 $G_{\infty}$-模等变映射？
• RQ3 Hochschild 上链复形的形式性是否意味着在 $G_{\infty}$-模意义下链复形也形式化？
• RQ4 如何通过同伦代数与形式性构造 Poisson 流形的 $\widehat{A}$-类？
• RQ5 $\epsilon$-形变在实现链复形上的 BV 结构与同伦 BV 代数中起什么作用？

主要发现

• 本文猜想，Hochschild 链复形 $C_{\bullet}(C^{\infty}(M),C^{\infty}(M))$ 在 $\Gamma(M,\wedge^{\bullet}T)[\epsilon]$ 上作为 $G_{\infty}$-模，与 de Rham 复形 $\Omega^{\bullet}(M)$ quasi-isomorphic。
• 该猜想意味着，通过形式 Poisson 结构形变的代数 $C^{\infty}(M)[[t]]$ 上的迹空间同构于 $M$ 的 de Rham 上同调。
• 猜想指出，正则 Poisson 流形的 $\widehat{A}$-类即为其辛叶层切丛的 $\widehat{A}$-类。
• 定理 5.3.3 确认了 Hochschild 链复形在 $\mathfrak{g}_{G}^{\bullet}(A)[\epsilon]$ 上具有 $L_{\infty}$-模结构，其作用由算子 $L_D$ 给出。
• 本文通过 $G_{\infty}$-模与 $\epsilon$-形变，为将形式性从上链复形推广至链复形提供了同伦代数框架。
• 该猜想意味着，形变代数的负循环同调通过 $G_{\infty}$-等变映射同构于原代数的周期循环同调。