[论文解读] Formality of Chain Operad of Small Squares

Dmitry Tamarkin|ArXiv.org|Sep 28, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用 37

一句话总结

本文通过构造一个在特定小正方形操作族的奇异链操作族与控制 Gerstenhaber 代数的同调操作族 $e_2$ 之间的拟同构，证明了小正方形操作族的链操作族的正式性。证明利用了形式幂级数代数中存在一个结合子（associator），借助带括号辫子操作族及其相应的链复形，建立了与 Gerstenhaber 操作族的拟同构。

ABSTRACT

We prove that the chain operad of small squares is formal. This fact clarifies situation with the proof of M. Kontsevich formality theorem in the paper of the author math.QA/9803025, revised Sept 24. The formality of the operad follows quite easily from the existence of an associator.

研究动机与目标

• 确立小正方形操作族的链操作族的正式性，这是理解 Hochschild 上链复形同伦结构的关键步骤。
• 证明任意小正方形操作族的奇异链操作族与控制 Gerstenhaber 代数的操作族 $e_2$ 拟同构。
• 证明该正式性结果源于带括号辫子操作族语境下结合子的存在性。
• 阐明 $B_\nu$-操作族及其相关链复形在正式性与同伦 Gerstenhaber 结构语境中的作用。
• 如 Kontsevich 所指出的，将正式性结果扩展到余代数层次，使用相同的底层映射。

提出的方法

• 将带括号辫子操作族 $PaB_n$ 构造为一个范畴，其单形复形（nerve）构成一个拓扑 $B_\nu$-操作族。
• 利用单形复形与几何实现函子，构建一个胞腔 $B_\nu$-操作族 $X_n = |NPaB_n|$，并证明其为小正方形操作族。
• 通过 $PaB_n$ 的单形复形上的奇异链定义链操作族 $C_\bullet(PaB_\bullet)$，该结构通过 Eilenberg-Zilber 映射继承了微分分次操作族的结构。
• 在非交换变量 $t_{ij}$ 的形式幂级数代数中，构造一个结合子 $\theta \in A^{pb}_3$，其满足五边形与六边形公理。
• 利用结合子定义一个操作族的同态 $\phi: \mathbb{Q}(PaB_\bullet) \to O_A(\bullet)$，该同态诱导出链复形上的映射。
• 通过归纳法与 Serre-Hochschild 族谱序列，证明诱导出的同调映射是同构，即链操作族 $C_\bullet(PaB_\bullet)$ 的同调同构于 $e_2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 小正方形操作族的链操作族是否正式，即是否与控制其同调操作族 $e_2$ 拟同构？
• RQ2 能否通过带括号辫子语境下结合子的存在性来确立小正方形操作族的正式性？
• RQ3 带括号辫子操作族及其相关链复形的构造是否能导出与 $e_2$ 的拟同构？
• RQ4 如 Kontsevich 所建议的，该正式性结果能否扩展到余代数层次？
• RQ5 由 $t_{ij}$ 生成的李代数 $\mathfrak{g}_n$ 的同调与小正方形操作族的同调有何关系？

主要发现

• 链操作族 $C_\bullet(PaB_\bullet)$ 与控制 Gerstenhaber 代数的操作族 $e_2$ 拟同构。
• 小正方形操作族的链操作族的正式性源于 $A^{pb}_3$ 中结合子的存在，该结合子诱导出操作族的拟同构。
• $\mathfrak{g}_n$ 的同调同构于 $H_\bullet(C_\bullet^\mathbb{Q}(U\mathfrak{g}_n))$，且该同调是有限维的，由 $H_\bullet(\mathfrak{g}_2)$ 生成。
• Serre-Hochschild 族谱序列在 $E^2$ 页崩溃，表明 $H_\bullet(\mathfrak{g}_n) \cong H_\bullet(\mathfrak{g}_{n-1}) \oplus \bigoplus_{k=1}^{n-1} H_\bullet(\mathfrak{g}_{n-1})[-1]$。
• $H_\bullet(\mathfrak{g}_n)$ 的总维数为 $n!$，与 $e_2(n)$ 的维数一致，这意味着该拟同构在同调上是双射。
• $\phi: \mathbb{Q}(PaB_\bullet) \to O_A(\bullet)$ 由结合子诱导出的映射是操作族的拟同构，因为它在同调上诱导出同构，且 $e_2$ 由 $e_2(2)$ 生成。