[论文解读] Formality of derived intersections

Julien Grivaux|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文建立了在复流形 $Z$ 中，一个量子化解析循环 $X$ 与一个光滑子流形 $Y$ 的导出交的导出范畴 $\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ 中形式性的必要且充分条件。当且仅当余法丛过剩正合列 $0\to\mathcal{E}\to\widehat{N}^*\to N^*_{T/Y}\to 0$ 湮没分裂时，形式性成立，该结果将阿林金-卡达尔鲁关于自交的结论推广至在量子化假设下的线性交。”,

ABSTRACT

We study derived intersections of smooth analytic cycles, and provide in some cases necessary and sufficient conditions for this intersection be formal. In particular, if X is a complex submanifold of a complex manifold Y, we prove that X can be quantized if and only if the derived intersection of XxX and Δ_Y is formal in D(XxX).

研究动机与目标

• 将导出交的形式性准则从自交情形推广至更一般的解析循环的线性交情形。
• 研究当 $X$ 为量子化解析循环时，导出张量积 $\mathcal{O}_X \otimes^\mathrm{L}_{\mathcal{O}_Z} \mathcal{O}_Y$ 在 $\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ 中形式性的条件。
• 将余法丛过剩序列的全纯分裂性作为导出范畴中形式性的关键条件进行刻画。
• 为理解复几何中非横截交提供导出范畴的框架，特别是在量子化循环的背景下。

提出的方法

• 本文使用导出范畴 $\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ 分析导出交 $j_{Y/Z}^* j_{X/Z*} \mathcal{O}_X$ 的形式性。
• 应用阿蒂亚映射与伴随关系，构造一个映射 $\vartheta \to N^*_{X/Y}[1]$，该映射在局部上同调的 $-1$ 次数上诱导同构，从而支持截断论证。
• 证明通过截断阶数的归纳法进行，利用 $j_*\vartheta$ 上的环结构与楔积，将乘法映射分解为通过截断对象的因子。
• 利用如下事实：$\tau^{\geq -2} \tau^{\leq -1} j_*\vartheta$ 形式当且仅当 $N^*_{X/Y}$ 可延拓至 $X$ 在 $Y$ 中的第一阶无穷小邻近，从而将形式性与截面的存在性联系起来。
• 关键的技术工具是使用反对称化映射，从对称积构造到截断导出交的拟同构。
• 论证依赖于同构 $\mathcal{H}^{-p}(\vartheta) \cong \Lambda^p \mathcal{E}$，该同构将导出交的上同调识别为过剩丛的外幂。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $X$ 为量子化解析循环且 $X \cap Y$ 为线性时，导出交 $j_{Y/Z}^* j_{X/Z*} \mathcal{O}_X$ 在 $\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ 中形式的条件是什么？
• RQ2 余法丛过剩序列 $0 \to \mathcal{E} \to \widehat{N}^* \to N^*_{T/Y} \to 0$ 的全纯分裂性如何与导出交的形式性相关？
• RQ3 能否对所有 $p \geq 0$ 建立截断导出交 $\tau^{\geq -(p+1)} \tau^{\leq -p} (\mathcal{O}_X \otimes^\mathrm{L}_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X)$ 的形式性，这又对整体形式性意味着什么？
• RQ4 $\tau^{\geq -2} \tau^{\leq -1} j_*\vartheta$ 在 $\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ 中形式，而 $\tau^{\geq -2} \tau^{\leq -1} \vartheta$ 在 $\mathrm{D}^\mathrm{b}(X)$ 中非形式，这是为何？这揭示了 $j_*$ 的非忠实性何在？
• RQ5 在 $j_*\vartheta$ 上的环结构在多大程度上允许构造 $N^*_{X/Y}[1]$ 的截断对称幂与外幂之间的拟同构？

主要发现

• 导出交 $j_{Y/Z}^* j_{X/Z*} \mathcal{O}_X$ 在 $\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ 中形式当且仅当余法丛过剩序列 $0 \to \mathcal{E} \to \widehat{N}^* \to N^*_{T/Y} \to 0$ 全纯分裂。
• 对任意 $p \geq 0$，截断对象 $\tau^{\geq -(p+1)} \tau^{\leq -p} (\mathcal{O}_X \otimes^\mathrm{L}_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X)$ 在 $\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ 中形式，且与 $\Lambda^p N^*_{X/Y}[p] \oplus \Lambda^{p+1} N^*_{X/Y}[p+1]$ 之间存在拟同构。
• $\tau^{\geq -2} \tau^{\leq -1} j_*\vartheta$ 在 $\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ 中的形式性等价于 $N^*_{X/Y}$ 可延拓至 $X$ 在 $Y$ 中的第一阶无穷小邻近，这又等价于 $X$ 是量子化的。
• 映射 $\theta: \tau^{\geq -(p+1)} (\tau^{\geq -2} \tau^{\leq -1} j_*\vartheta)^{\otimes p} \to \tau^{\geq -(p+1)} \tau^{\leq -p} j_*\vartheta$ 是拟同构，其由上同调上的楔积诱导。
• $j_*\vartheta$ 上的环结构使得乘法映射可分解为通过截断对称幂的因子，从而支持外幂的拟同构构造。
• $j_*$ 的非忠实性体现在：即使 $\mathrm{D}^\mathrm{b}(X)$ 中的对应对象非形式，$\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ 中的 $\tau^{\geq -2} \tau^{\leq -1} j_*\vartheta$ 仍可为形式。