[论文解读] Formalization, Mechanization and Automation of Gödel's Proof of God's Existence

Christoph Benzmüller, Bruno Woltzenlogel Paleo|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 14被引用 23

一句话总结

本文使用高阶逻辑自动定理证明工具，对丹纳·斯科特版本的哥德尔上帝存在本体论证明进行了形式化、机械化和自动验证。结果表明，该证明在逻辑上是一致且有效的，所用工具包括LEO-II、Satallax、Coq和Isabelle/HOL，揭示出模态逻辑KB已足够支持该证明，而非必需S5逻辑；同时发现，当关键合取项从本质定义中遗漏时，系统存在关键不一致。

ABSTRACT

Gödel's ontological proof has been analysed for the first-time with an unprecedent degree of detail and formality with the help of higher-order theorem provers. The following has been done (and in this order): A detailed natural deduction proof. A formalization of the axioms, definitions and theorems in the TPTP THF syntax. Automatic verification of the consistency of the axioms and definitions with Nitpick. Automatic demonstration of the theorems with the provers LEO-II and Satallax. A step-by-step formalization using the Coq proof assistant. A formalization using the Isabelle proof assistant, where the theorems (and some additional lemmata) have been automated with Sledgehammer and Metis.

研究动机与目标

• 使用计算逻辑工具对哥德尔上帝存在本体论证明进行形式化验证。
• 研究斯科特版本证明中公理与定义的逻辑依赖关系及最小需求。
• 识别并解决原始表述中的不一致，特别是关于本质定义的问题。
• 展示自动化与交互式定理证明在形而上学推理中的可行性与实用性。
• 通过支持莱布尼茨的“Calculemus”愿景，使计算机能够辅助检验复杂的哲学论证。

提出的方法

• 使用TPTP THF语法在高阶逻辑中形式化斯科特版本哥德尔证明的公理、定义与定理。
• 使用LEO-II与Satallax自动化定理证明器逐步验证逻辑定理。
• 使用Coq与Isabelle/HOL证明助手进行详细、交互式的形式化与验证。
• 应用Nitpick反例查找工具测试公理与定义的一致性。
• 将量化模态逻辑嵌入经典高阶逻辑中，采用Henkin语义以支持计算推理。
• 在Isabelle/HOL中使用Sledgehammer与Metis自动化定理与引理的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 当斯科特版本的哥德尔本体论证明在高阶逻辑中形式化时，其逻辑是否一致？
• RQ2 在此框架中，证明上帝存在的最小模态逻辑是什么？
• RQ3 对定义的修改——特别是本质定义中遗漏一个合取项——如何影响系统的不一致性？
• RQ4 自动化与交互式定理证明工具能否有效用于验证复杂的形而上学论证？
• RQ5 公理A1的双向性质在关键定理（如T2）的可推导性中起什么作用？

主要发现

• 基本模态逻辑K已足够证明前三个定理（T1、C1、T2），与认为S5为必需的假设相反。
• 证明最终定理T3并不需要S5逻辑；较弱的逻辑KB已足够。
• 若在定义D2中遗漏合取项φ(x)，将导致系统不一致，表明原始表述中存在关键疏漏。
• 公理A1的逆向方向对证明T1并非必需，但对推导T2至关重要，凸显其在证明结构中的作用。
• 形式化过程揭示，上帝式属性（G）是正向的（P(G)），且必然存在（NE）是正向属性（P(NE)），二者对证明至关重要。
• 整个证明通过LEO-II、Satallax、Coq和Isabelle/HOL等多种工具成功验证，确认了形式化结果的稳健性。