[论文解读] Formalizing Equivalences Without Tears
本文使用 Agda 对类型论中的同伦类型论与范畴论基础进行了形式化介绍，强调了构造性类型论中显式类型层级的使用，以及排中律和选择公理等经典公理的一致性应用。它展示了如何在不预先假设univalence公理的情况下，以构造性方式发展同伦类型论——其中相等性通过同伦类型保持结构不变，等价性与标识等价——并利用 Agda 确保逻辑正确性，为后续探索同调类型论与立方体类型论奠定基础。
The aim of this paper is to refine and extend proposals by Sozeau and Tabareau and by Voevodsky for universe polymorphism in type theory. In those systems judgments can depend on explicit constraints between universe levels. We here present a system where we also have products indexed by universe levels and by constraints. Our theory has judgments for internal universe levels, built up from level variables by a successor operation and a binary supremum operation, and also judgments for equality of universe levels.
研究动机与目标
- 提供一个使用 Agda 作为证明助手的实用、形式化的同伦类型论数学基础介绍。
- 展示即使在未假设 univalence 公理之前，同伦数学也可在 Martin-Löf 类型论中以构造性方式发展。
- 阐明排中律与选择公理等经典公理可在同伦类型论中一致假设，而不会破坏其计算解释。
- 强调由于同伦类型论中标识类型的结构，数学性质在等价关系（如同构、等价）下自动保持不变。
- 通过在可验证的、文献式 Agda 格式中引入基础概念，为未来在立方体类型论与立方体 Agda 中的工作奠定基础。
提出的方法
- 使用 Agda 在基于 Martin-Löf 类型论的依赖类型、构造性环境中形式化数学定义、构造、定理与证明。
- 使用显式类型层级来管理大小区分，并支持大型类型（如范畴或幺半群的类型）。
- 将标识类型定义为相等性的原始概念，收集两个对象所有可能相等的方式，而非真值。
- 使用 Voevodsky 的定义在所有类型层级上统一形式化类型等价性，该定义将同构推广至高阶群胚。
- 应用 univalence 公理由将类型等价性与标识类型等同，确保等价类型在标识类型的含义下相等。
- 使用子单子截断来区分性质（存在但无指定）与数据（指定存在），从而实现如满射函数与像的定义。
实验结果
研究问题
- RQ1如何在显式类型层级的 Martin-Löf 类型论中，使用 Agda 形式化同伦基础？
- RQ2univalence 公理在使类型等价性与标识类型等价方面起什么作用？这如何影响数学中相等性的处理方式？
- RQ3排中律与选择公理等经典原理是否可在同伦类型论中一致假设而不损害其构造性本质？
- RQ4同伦类型论中的标识类型如何自动确保性质在等价关系（如幺半群同构或范畴等价）下的不变性？
- RQ5在同伦数学中区分性质与结构的意义是什么？这如何通过子单子截断来形式化？
主要发现
- 在同伦类型论中，标识类型自动捕捉了所有类型下正确的相等性概念：对集合（如 ℕ）而言，它是真值；对幺半群而言，它是同构的类型；对范畴而言，它是等价的类型。
- 同伦基础并不需要新的类型论；它通过在 Martin-Löf 类型论中添加 univalence 公理来扩展，该公理由将类型等价性与标识类型等同。
- 排中律与选择公理等经典公理可在同伦数学中一致假设，尽管它们会破坏计算解释；其同伦形式与经典形式不同。
- 通过子单子截断形式化了性质与结构之间的区分，从而在不假设选择公理的情况下，精确地定义了满射与像。
- 本文表明，即使在未假设 univalence 之前，也可在 Agda 中以构造性方式发展大量同伦数学，例如在等价关系下性质的自动不变性。
- Agda 中的正式开发确保了逻辑正确性，并为后续探索立方体类型论与立方体 Agda 提供了可验证的基础。
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