[论文解读] Forman-Ricci Curvature for Hypergraphs

Wilmer Leal, Guillermo Restrepo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Bioinformatics and Genomic Networks被引用 8

一句话总结

本文提出了用于有向和无向超图的Forman-Ricci曲率，将基于图的曲率推广至高阶相互作用。该方法量化了超边大小与顶点在多个超边中参与度之间的权衡，揭示了如Wikipedia投票网络和大肠杆菌代谢网络等网络中的结构角色，其中曲率识别出瓶颈和冗余反应。

ABSTRACT

In contrast to graph-based models for complex networks, hypergraphs are more general structures going beyond binary relations of graphs. For graphs, statistics gauging different aspects of their structures have been devised and there is undergoing research for devising them for hypergraphs. Forman-Ricci curvature is a statistics for graphs, which is based on Riemannian geometry, and that stresses the relational character of vertices in a network through the analysis of edges rather than vertices. In spite of the different applications of this curvature, it has not yet been formulated for hypergraphs. Here we devise the Forman-Ricci curvature for directed and undirected hypergraphs, where the curvature for graphs is a particular case. We report its upper and lower bounds and the respective bounds for the graph case. The curvature quantifies the trade-off between hyperedge(arc) size and the degree of participation of hyperedge(arc) vertices in other hyperedges(arcs). We calculated the curvature for two large networks: Wikipedia vote network and \emph{Escherichia coli} metabolic network. In the first case the curvature is ruled by hyperedge size, while in the second by hyperedge degree. We found that the number of users involved in Wikipedia elections goes hand-in-hand with the participation of experienced users. The curvature values of the metabolic network allowed detecting redundant and bottle neck reactions. It is found that ADP phosphorilation is the metabolic bottle neck reaction but that the reverse reaction is not that central for the metabolism.

研究动机与目标

• 将Forman-Ricci曲率从图推广至超图，以分析超越二元关系的高阶相互作用。
• 定义一种曲率度量，以捕捉超边大小与顶点在多个超边中参与度之间的相互作用。
• 将该曲率应用于真实世界网络，以揭示瓶颈和冗余组件等结构特征。
• 证明曲率值与生物网络和社会网络中的功能重要性存在相关性。

提出的方法

• 通过推广基于图的Forman公式，推导出基于超边大小和跨超边顶点度数的超边Forman-Ricci曲率。
• 通过将基于边的Ricci曲率概念扩展至具有多个关联顶点的超边，定义了有向和无向超图的曲率。
• 采用黎曼几何中的归一化和符号约定，以确保与原始图曲率定义的一致性。
• 将该曲率应用于两个大规模网络：Wikipedia投票网络和大肠杆菌代谢网络，计算所有超边的曲率值。
• 通过曲率大小识别关键超边，区分高曲率（中心）和低曲率（冗余或外围）交互。
• 分析曲率模式以检测代谢网络和社会网络中的功能角色，如瓶颈或枢纽。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Forman-Ricci曲率从图推广至超图，以捕捉高阶网络相互作用？
• RQ2 在真实世界网络中，极端曲率值的超边具有何种结构角色？
• RQ3 在超图中，超边大小与顶点参与度在决定曲率方面如何比较？
• RQ4 曲率能否识别代谢网络中的功能瓶颈或冗余反应？
• RQ5 在Wikipedia选举等社会网络中，曲率在多大程度上反映了用户参与体验和参与动态？

主要发现

• 在Wikipedia投票网络中，曲率主要由超边大小决定，较高曲率与涉及更多经验用户选举相关。
• 在大肠杆菌代谢网络中，曲率主要由超边度数主导，ADP磷酸化被识别为关键瓶颈反应。
• ADP磷酸化的逆反应被发现中心性较低，表明其在代谢流中并非关键节点。
• 具有最负曲率值的超边（如PTRC和PRO通路中的超边）被识别为网络中的结构中心。
• 代谢网络中超边的曲率值范围为-1155至-4，最负值表示高度结构中心性。
• 该方法成功检测出冗余反应（低曲率）和关键反应（高度负曲率），展示了其在系统生物学中的实用性。