[论文解读] Formes automorphes et theoremes de Riemann-Roch arithmetiques

Vincent Maillot, Damian Rössler|ArXiv.org|Jun 10, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文利用算术黎曼-罗赫定理与算术Lefschetz迹公式，确立了三类自守形式的算术-几何起源。证明了当底空间具有整模型时，Yoshikawa的Siegel自守形式与Igusa型形式为代数且整的，并表明K3曲面模空间上的某些自守形式具有算术起源，从而确认Borcherds的$Φ$-函数具有算术起源。

ABSTRACT

Nous construisons trois familles de formes automorphes au moyen du theoreme de Riemann-Roch arithmetique et de la formule de Lefschetz arithmetique. Deux de ces familles ont deja ete construites par Yoshikawa et notre construction met en lumiere leur origine arithmetique. ----- We construct three families of automorphic forms following the arithmetic Riemann-Roch theorem and the arithmetic Lefschetz formula. Two of these families were already constructed by Yoshikawa and our construction illuminates their arithmetic origin.

研究动机与目标

• 为具有解析表达式的三类自守形式提供算术-几何解释。
• 确立当底空间具有整模型时，这些自守形式为代数且整的。
• 阐明此前以解析方式构造的Yoshikawa的Siegel自守形式与Igusa型形式的算术起源。
• 表明具有无固定点对合的K3曲面模空间上的自守形式与Borcherds的$Φ$-函数一致，并源于算术几何。
• 提出算术Lefschetz迹公式的猜想性推广，允许在有限纤维上存在不规则性，以供未来研究在坏约化下的模形式退化性。

提出的方法

• 使用度数为1的算术黎曼-罗赫定理，从具有典范度量的算术线丛构造自守形式。
• 应用算术Lefschetz迹公式，将上同调上自同态的迹与不动点集上的几何数据联系起来。
• 构造三类自守形式：(1) 通过Yoshikawa构造的Siegel自守形式，(2) 作为偶theta常数乘积的Igusa型形式，(3) 具有算术线丛系数的K3曲面模空间上的自守形式。
• 利用Gauss映射及其通过陈类与查理理论计算的次数，确立theta除子嵌入的关键几何性质。
• 利用线丛上的Moret-Bailly度量及其在阿贝尔概形上诱导的Kähler结构，定义算术特征类。
• 引入一个猜想性的算术Lefschetz公式，允许在有限纤维上存在不规则性，使用$μ_n$-等变结构与具有局部逆元的格罗滕迪克群。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过算术黎曼-罗赫定理与Lefschetz迹公式，为Yoshikawa的Siegel自守形式的解析构造提供算术-几何起源？
• RQ2 当底空间具有整模型时，作为偶theta常数乘积构造的Igusa型自守形式是否为代数且整的？
• RQ3 具有无固定点对合的K3曲面模空间上的自守形式是否源于算术几何，且是否与Borcherds的$Φ$-函数一致？
• RQ4 算术黎曼-罗赫定理在模空间背景下，对自守形式的整性与代数性证明中起何作用？
• RQ5 算术Lefschetz迹公式能否推广以允许在有限纤维上存在不规则性，其对坏约化下模形式退化性的意义为何？

主要发现

• 证明了Yoshikawa构造的第一类Siegel自守形式在底空间具有整模型时为代数且整的，从而证明了Yoshikawa关于傅里叶系数猜想的弱化版本。
• 第二类形式，即作为偶theta常数乘积构造的Igusa型形式，通过相同的算术-几何工具被证明为代数且整的。
• 第三类形式，即具有无固定点对合的K3曲面模空间上的自守形式，被证明与Borcherds的$Φ$-函数一致，且具有算术起源。
• 论文证明了一个关键恒等式，涉及截面$t$的$L^2$-范数，表明$|t|_{L^2}^{-1/(4\kappa)}$等于算术特征类的乘积与涉及算术线丛第一陈类的指数项的乘积。
• 提出了算术Lefschetz迹公式的猜想性推广，以处理在坏约化下模形式的退化性，特别是当一个在数域上定义了对合的K3曲面在有限素位上具有坏约化时。
• 计算出Gauss映射的次数为$g!$，确认该态射为一般有限，为自守构造提供了几何基础。