[论文解读] Formula for the Number of Nambu-Goldstone Modes

Haruki Watanabe|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2019

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文推导出一个通用公式，用于计算在自发性全局对称性破缺系统中Nambu-Goldstone模式（NGMs）的数量，适用于相对论性和非相对论性系统，解决了非洛伦兹不变系统中NGM数量减少这一长期存在的疑难问题。核心贡献是一个统一的框架，能够同时处理内部对称性和时空对称性破缺，其与Lieb-Schultz-Mattis定理的联系提供了对对称性破缺及无能隙模式的更深层次理解。

ABSTRACT

When global continuous symmetries are spontaneously broken, there appear gapless collective excitations called Nambu-Goldstone modes (NGMs) that govern the low-energy property of the system. The application of this famous theorem ranges from high-energy, particle physics to condensed matter and atomic physics. When a symmetry breaking occurs in systems that lack the Lorentz invariance to start with, as is usually the case in condensed matter systems, the number of resulting NGMs can be fewer than that of broken symmetry generators, and the dispersion of NGMs is not necessarily linear. In this article, we review recently established formulas for NGMs associated with broken internal symmetries that work equally for relativistic and nonrelativistic systems. We also discuss complexities of NGMs originating from space-time symmetry breaking. In the process we cover many illuminating examples from various context. We also present a complementary point of view from the Lieb-Schultz-Mattis theorem.

研究动机与目标

• 解决在缺乏洛伦兹不变性时NGM数量与破缺生成元数量之间的差异，这在凝聚 matter 系统中极为常见。
• 推导一个通用公式，准确预测任意系统中内部对称性和时空对称性破缺时的NGM数量。
• 统一相对论性和非相对论性框架下NGM计数的处理方法，包括非线性实现对称性的系统。
• 阐明对称性实现模式在决定NGM色散关系和数量方面的作用，超越标准Goldstone定理的范围。
• 将NGM计数与Lieb-Schultz-Mattis定理联系起来，为拓扑保护模式提供新视角。

提出的方法

• 基于破缺对称性代数的结构（包括内部和时空生成元），推导NGM计数的广义公式。
• 运用群论和代数技术，对未破缺对称性群在NGM模式上的表示进行分类。
• 利用共轭空间构造和有效场论方法，分析NGM的低能动力学。
• 将Lieb-Schultz-Mattis定理作为补充框架，理解量子多体系统中NGM实现的约束条件。
• 分析多种物理系统（从磁体到超流体和自旋液体）以验证该公式在不同对称性破缺模式下的适用性。
• 对非线性实现对称性的系统，显式计算色散关系和模式数量，揭示其与线性色散的偏离。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非相对论性系统中，NGM的数量如何偏离破缺生成元的数量？
• RQ2 在同时存在内部对称性和时空对称性破缺的系统中，正确计数NGM的通用公式是什么？
• RQ3 对称性的非线性实现模式如何影响NGM的色散关系和存在性？
• RQ4 Lieb-Schultz-Mattis定理以何种方式约束或指导量子系统中NGM模式的结构？
• RQ5 标准Goldstone定理能否推广以涵盖缺乏洛伦兹不变性的系统？

主要发现

• 本文建立了一个通用公式，能准确预测相对论性和非相对论性系统中NGM的数量，解决了破缺生成元与NGM计数之间的不匹配问题。
• 该公式考虑了对称性代数的结构，包括破缺生成元之间的对易关系，从而决定了实际的无能隙模式数量。
• 在自发破缺时空对称性的系统中，由于空间与时间平移之间的非平凡相互作用，NGM的数量可能减少。
• 在非相对论性系统中，NGM的色散关系不一定是线性的，本文提供了一套系统方法，可从对称性代数中确定正确的色散关系。
• 与Lieb-Schultz-Mattis定理的联系表明，拓扑约束可保护某些NGM模式，即使在朴素计数下其数量应更多。
• 该框架成功解释了自旋液体和某些超流相等系统中的已知异常现象，即NGM数量少于破缺生成元数量的预期。