[论文解读] Formulas for Counting the Sizes of Markov Equivalence Classes of Directed Acyclic Graphs

Yangbo He, Bin Yu|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2016

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 10被引用 9

一句话总结

本文提出了一种新方法，通过引入一种称为“核心图”的新概念——一种不含支配顶点的无向弦图，来推导有向无环图（DAG）的马尔可夫等价类（MEC）大小的显式多项式公式。MEC的大小被证明是支配顶点数量的多项式，且作者提供了基于递归与符号计算的算法，以高效推导并应用这些公式，尤其适用于无向子图不稀疏的MEC。

ABSTRACT

The sizes of Markov equivalence classes of directed acyclic graphs play important roles in measuring the uncertainty and complexity in causal learning. A Markov equivalence class can be represented by an essential graph and its undirected subgraphs determine the size of the class. In this paper, we develop a method to derive the formulas for counting the sizes of Markov equivalence classes. We first introduce a new concept of core graph. The size of a Markov equivalence class of interest is a polynomial of the number of vertices given its core graph. Then, we discuss the recursive and explicit formula of the polynomial, and provide an algorithm to derive the size formula via symbolic computation for any given core graph. The proposed size formula derivation sheds light on the relationships between the size of a Markov equivalence class and its representation graph, and makes size counting efficient, even when the essential graphs contain non-sparse undirected subgraphs.

研究动机与目标

• 为解决在因果发现中高效计数马尔可夫等价类（MEC）大小的挑战，特别是当本质图包含非稀疏无向子图时。
• 基于底层本质图的结构特性，开发一种系统化方法，推导出MEC大小的闭式多项式公式。
• 引入“核心图”——一种不含支配顶点的弦图无向图——作为大小公式推导的基础组件。
• 设计一种利用符号计算的算法，为任意给定核心图推导大小公式，从而实现快速且可扩展的大小计数。
• 证明基于公式的计数方法在密集无向子图的MEC中，显著优于基于递归遍历的方法。

提出的方法

• 将‘核心图’定义为本质图中不含支配顶点的弦图无向子图，以捕捉MEC的本质结构复杂性。
• 证明MEC的大小是支配顶点数量的多项式，其系数由核心图的结构决定。
• 基于函数 $ f({f K}, m) $ 推导递归公式，该函数用于计算核心图 $ {f K} $ 在拥有 $ m $ 个支配顶点时的MEC中DAG的数量。
• 基于核心图中顶点的度数与邻域结构，推导出 $ f({f K}, m) $ 的显式公式，特别利用弦图与诱导子图的性质。
• 实现一种基于符号计算的算法，通过递归分解与已知的树和弦图子图结果，自动推导任意给定核心图的大小公式。
• 构建一种基于公式的大小计数算法，直接求值所推导的多项式，避免对MEC中所有DAG进行昂贵的枚举。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将DAG的马尔可夫等价类大小表达为支配顶点数量的多项式函数？
• RQ2 本质图的结构特性——特别是其无向子图——如何决定大小多项式的形态？
• RQ3 能否开发一种通用算法，对任意核心图符号化推导此类大小公式？
• RQ4 所提出的基于公式的计数方法与现有递归遍历方法相比，在效率上如何表现，尤其是在非稀疏本质图中？
• RQ5 对于包含最多五个缺失边或特定结构（如树和弦图）的核心图，其大小公式的显式多项式形式是什么？

主要发现

• MEC的大小是支配顶点数量的多项式，且多项式系数完全由核心图决定。
• 对于树结构，大小公式为 $ p + 2(p-1)m $，其中 $ p $ 为顶点数，$ m $ 为支配顶点数。
• 对于一棵树加一条边（形成三角形）的情况，大小公式为 $ 3m^2 + 4pm - 3m + 2p $，显示出对 $ m $ 的二次依赖。
• 对于由 $ p/2 $ 个连通分量组成的核心图（一个大小为 $ m+1 $ 的完全图与 $ p/2 - 1 $ 个单边图），大小公式为 $ 2^{p/2} (pm/2 + p/2) $。
• 基于符号计算的算法能高效推导任意核心图的大小公式，且基于公式的计数算法在密集无向子图上相比遍历方法实现了显著的速度提升。
• 实证结果证实，所提方法具有良好的可扩展性，并且在无向子图非稀疏时，显著快于以往的递归计数方法。