[论文解读] Formulas for Lagrangian and orthogonal degeneracy loci; the Q-polynomials approach

Piotr Pragacz, Jan Ratajski|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 1996

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 9

一句话总结

本文利用Q-多项式为拉格朗日和正交退化点集开发了显式公式，推广了早期关于施温多项式的工作。它提供了关于tautological丛和旗S-多项式的Q-多项式的二次表达式，从而得到紧凑且全局的公式——尤其在两个极大极大化子丛的交点集维度超过给定值时尤为优雅，解决了J. Harris提出的问题。

ABSTRACT

Let V be a vector bundle on a scheme X endowed with a nondegenerate symplectic or orthogonal form. Let G be a Grassmannian bundle parametrizing maximal isotropic subbundles of V. The main goal of the paper is to give formulas for the classes of the loci in G parametrizing those subbundles which intersect successive members of of a fixed flag of isotropic subbundles of V in dimensions greater than 1,2,3,... . The formulas which we give are quadratic expressions in Q-polynomials of the tautological bundle on G and flag S-polynomials of the members of the flag. These formulas globalize to Lagrangian and orthogonal degeneracy loci. They have especially nice form for the loci of points in X where two maximal isotropic subbundles intersect in dimension exceeding a given number. (A problem for finding formulas for these loci was posed by J. Harris several years ago.) In this case, our formulas are simple quadratic expressions of Q-polynomials applied to E and F. The work generalizes formulas given in [P.Pragacz, Algebro- geometric applications of Schur S- and Q-polynomials, SLN 1478 (1991), 130-191]. One of its applications is computation of the classes of Brill-Noether loci in Pryms in [De Concini, P. Pragacz, On the class of Brill-Noether loci for Prym varieties, Math. Ann. 302 (1995), 687-697].

研究动机与目标

• 将退化点集的施温多项式公式推广至辛和正交情形。
• 解决J. Harris长期提出的关于计算极大极大化子丛交点集类的问题。
• 为参数化极大化子丛的Grassmannian丛中的退化点集提供全局、封闭形式的公式。
• 将Q-多项式技术的应用范围扩展至代数几何中的拉格朗日和正交退化点集。
• 通过所发展的形式系统，实现对Prym簇中类的计算，特别是对Brill-Noether点集的计算。

提出的方法

• 作者使用与最大极大化子丛Grassmannian丛上的tautological丛相关的Q-多项式。
• 他们将退化点集类表示为Q-多项式与固定旗中极大化子丛的旗S-多项式的二次组合。
• 该方法依赖于具有非退化形式的辛和正交向量丛的结构。
• 它将早期从S-多项式到Q-多项式在退化点集背景下的结果进行了推广。
• 该方法是全局的，避免使用局部坐标，并在基概形X上统一适用。
• 该形式系统被应用于计算Prym簇中的类，展示了其实际效用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何计算在辛或正交丛中，极大极大化子丛交点集维度超过给定阈值的退化点集的上同调类？
• RQ2 对于与固定极大化子丛旗在指定维度相交的极大化子丛的点集类，其全局公式是什么？
• RQ3 Q-多项式能否为拉格朗日和正交退化点集提供类似于其在施温多项式理论中的统一且简化的框架？
• RQ4 正交和拉格朗日情形下退化点集的公式与一般线性情形下的公式相比如何？
• RQ5 这些公式对计算Prym簇中Brill-Noether点集的类有何影响？

主要发现

• 本文利用Q-多项式的二次表达式，为最大极大化子丛Grassmannian丛中的退化点集提供了显式、全局的公式。
• 对于两个极大极大化子丛交点集维度超过k的情形，公式是直接对两个丛应用Q-多项式的简单二次表达式。
• 该公式将基于施温S-多项式的先前结果推广至Q-多项式框架，提供了更大的一般性和优雅性。
• 该方法成功解决了J. Harris关于此类点集类计算的问题。
• 该形式系统使得能够计算Prym簇中Brill-Noether点集的类，如在Math. Ann. 302 (1995)中的应用所示。
• 该方法产生了紧凑、封闭形式的表达式，这些表达式在辛和正交情形下计算上可行且具有几何意义。