[论文解读] Formulas for Positive, Negative and Zero Values of the Möbius Function

R. M. Abrarov, Sanjar M. Abrarov|ArXiv.org|May 4, 2009

Mathematics and Applications参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文推导出计算任意实数 $x$ 以内 Möbius 函数正值、负值和零值个数的显式公式，基于 $√x$ 处 Möbius 函数值的递归恒等式。通过使用 Dirac 和 Kronecker delta 函数，将 Mertens 函数及相关数论函数表示为积分和离散形式，揭示了这些函数如何通过数论恒等式生成其输出的结构性机制。

ABSTRACT

We obtained the formulas for the quantities of positive, negative and zero values of the Mobius function for any real x in terms of the Mobius function values for square root of x - similar to the identities we found earlier for the Mertens function [1]. Using the Dirac delta function approach [3, 2] we propose the equations showing how the Mertens and related functions can generate the output values.

研究动机与目标

• 推导 $N_+(x)$、$N_-(x)$ 和 $N_0(x)$ 的精确公式，分别表示满足 $\mu(n) = +1$、$-1$ 和 $0$ 的自然数 $\leq x$ 的个数。
• 以 $√x$ 处的 Möbius 函数值为基准，将这些计数递归表达，扩展 Mertens 函数的递归结构。
• 利用 Dirac delta 函数 $\delta^D$ 和 Kronecker delta 函数 $\delta^K$ 重新表述 Mertens 函数及相关数论函数，以消除显式的向下取整函数，并揭示其底层生成机制。
• 为分析 Möbius 函数值的分布及其频率，提供一种确定性的、基于恒等式的框架。

提出的方法

• 通过在平方因子上使用容斥原理推导 $N_0(x)$，得到 $N_0(x) = -\sum_{i=2}^{\sqrt{x}} \mu_i \left[\frac{x}{i^2}\right]$。
• 利用恒等式 $M(x) = 2M(\sqrt{x}) - \sum_{i,j=1}^{\sqrt{x}} \mu_i \mu_j \left[\frac{x}{ij}\right]$，以递归方式表达 Mertens 函数。
• 应用 Dirac delta 函数 $\delta^D$ 和 Kronecker delta 函数 $\delta^K$ 以替代向下取整函数，将 $\left[\frac{x}{ij}\right]$ 表示为 delta 函数的积分或求和形式。
• 通过使用 $\delta^K\left(\frac{k}{ij}\right)$ 将 Mertens 函数恒等式转化为对 $k$ 和 $i,j$ 的双重求和，得到 $M(x) = 2 - \sum_{k=1}^x \sum_{i,j=1}^{\sqrt{k}} \mu_i \mu_j \delta^K\left(\frac{k}{ij}\right)$。
• 采用相同的变换技术，为 $Q(x) = N_+(x) + N_-(x)$、$N_+(x)$ 和 $N_-(x)$ 推导出类似的 delta 函数表示形式。
• 建立恒等式 $\mu_x = -\sum_{i,j=1}^{\sqrt{x}} \mu_i \mu_j \delta^K\left(\frac{x}{ij}\right)$（$x \geq 2$），展示个体 Möbius 值如何由递归结构生成。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Möbius 函数正值、负值和零值的计数，以 $√x$ 处的值为基准进行递归表达？
• RQ2 Mertens 函数及相关数论函数能否通过 Dirac 或 Kronecker delta 函数重新表述，以消除向下取整函数？
• RQ3 通过求和恒等式生成 Möbius 函数值的结构性机制是什么？
• RQ4 Möbius 函数值 $\mu(n) = +1$、$-1$ 和 $0$ 的频率如何与 Mertens 函数及无平方因子数的计数相关联？
• RQ5 容斥原理和乘法恒等式在推导 $N_0(x)$ 和 $Q(x)$ 的精确公式中起到什么作用？

主要发现

• 满足 $\mu(n) = 0$ 的整数个数为 $N_0(x) = -\sum_{i=2}^{\sqrt{x}} \mu_i \left[\frac{x}{i^2}\right]$，该公式通过在平方因子上使用容斥原理推导得出。
• 无平方因子数的计数 $Q(x) = N_+(x) + N_-(x)$ 表示为 $Q(x) = \sum_{i=1}^{\sqrt{x}} \mu_i \left[\frac{x}{i^2}\right]$，直接关联到 $√x$ 处的 Möbius 值。
• 计数 $N_+(x)$ 和 $N_-(x)$ 的表达式为 $N_+(x) = M(\sqrt{x}) - \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{\sqrt{x}} \mu_i \mu_j \left[\frac{x}{ij}\right] + \frac{1}{2}Q(x)$，$N_-(x)$ 的表达式类似，利用了 Mertens 函数和 $Q(x)$。
• 通过 delta 函数，本文推导出 $M(x) = 2 - \sum_{k=1}^x \sum_{i,j=1}^{\sqrt{k}} \mu_i \mu_j \delta^K\left(\frac{k}{ij}\right)$，用离散 delta 函数替代了向下取整函数。
• 恒等式 $\mu_x = -\sum_{i,j=1}^{\sqrt{x}} \mu_i \mu_j \delta^K\left(\frac{x}{ij}\right)$（$x \geq 2$）表明，个体 Möbius 值由递归结构生成。
• delta 函数形式揭示了一种确定性的、构造性的机制，通过数论恒等式生成 Möbius 函数及其求和函数的值。