[论文解读] Formulation of small-strain magneto-elastic problems

Tuomas Kovanen, T. Tarhasaari+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2016

Magnetic Properties and Applications被引用 5

一句话总结

本文通过微分几何表述小应变磁弹性问题，利用向量值与余向量值微分形式，在弹性与磁学之间建立代数类比。研究表明，磁学、弹性与磁弹性问题可统一建模于同一代数范畴中，从而实现使用 Whitney 单体的有限元方法一致离散化。

ABSTRACT

Despite of the topical engineering need and all scientific investments, the mathematical formulation of modeling elastic deformations in magnetic systems is not yet fully established. Often, especially in electrical engineering applications, a model assuming small (infinitesimal) strains seems sufficient. To express such small-strain magneto-elastic problems in a suitable form for discretization methods, we present here a formulation in the framework of differential geometry. The given analysis shows algebraic similarity between small-strain elasticity and magnetism. This suggests that a class of magnetic, elastic, and magneto-elastic problems may be modeled in the same algebraic category, constituting suitable domain for discretizations.

研究动机与目标

• 通过微分几何建立小应变磁弹性问题的数学严格表述。
• 识别小应变弹性与磁学之间的代数相似性，以实现统一的建模框架。
• 通过有限元方法（特别是 Whitney 单体）实现磁弹性问题的一致离散化。
• 基于磁弹性能密度的变分法形式化磁学与弹性场之间的耦合。
• 探讨小应变弹性与变形构型中几何一致的应力与力定义之间的兼容性。

提出的方法

• 使用微分几何在坐标无关、基于流形的框架中表达磁弹性问题。
• 应用向量值与余向量值微分形式及外导数，以坐标不变方式建模场方程。
• 通过联络结构引入协变外导数，以处理力学平衡与应力平衡。
• 基于磁弹性能密度的变分法定义耦合本构律，包括磁致伸缩。
• 使用 Whitney 单体进行有限元离散化，利用其在电磁场计算中的已知成功。
• 通过一个 9×9 矩阵（含 ±1 元素）建立应力表示之间的同构关系，映射为 ω ↦ ω̇∧，并证明其为线性同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过微分几何一致地表述小应变磁弹性问题？
• RQ2 小应变弹性与磁学之间存在何种代数相似性，使其可实现统一建模？
• RQ3 能否为磁学、弹性与磁弹性问题定义一个共同的代数范畴，以实现共享的离散化方法？
• RQ4 联络结构的使用如何影响磁弹性系统中力学平衡与应力的表述？
• RQ5 为何标准的小应变表述在变形平衡构型中无法一致地测量磁力与应力？

主要发现

• 该表述揭示了小应变弹性与磁学之间深刻的代数相似性，提示二者可共享同一数学范畴进行建模。
• 使用向量值与余向量值微分形式，可实现场方程与本构律的坐标无关表达。
• 通过联络结构定义的协变外导数，可在变形构型中一致表述力学平衡。
• 基于变分原理导出的磁应力张量，在变形平衡状态下与经典 Maxwell 应力张量一致。
• 通过一个对角 9×9 矩阵（含 ±1 元素）表示的应力表示同构关系，证实了应力映射的代数一致性。
• 在变形构型中实现力与应力的一致表述，要求采用几何非线性弹性理论，因为当前设置无法完全调和小应变弹性与变形几何之间的关系。