[论文解读] Formulation of the normal forms of Turing-Hopf bifurcation in reaction-diffusion systems with time delay

Weihua Jiang, Qi An+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2018

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文利用偏泛函微分方程（PFDEs）的中心流形与正规型理论，推导出具有时滞的反应-扩散系统中图灵-霍普夫分支的显式三阶正规型。该研究提出了一套用户友好的、以矩阵形式表达的框架，可在无需限制性假设（如 H5）的前提下，分析近似余维二分支点处的时空模式，包括稳定的非均匀空间稳态和周期解。

ABSTRACT

The normal forms up to the third order for a Hopf-steady state bifurcation of a general system of partial functional differential equations (PFDEs) is derived based on the center manifold and normal form theory of PFDEs. This is a codimension-two degenerate bifurcation with the characteristic equation having a pair of simple purely imaginary roots and a simple zero root, and the corresponding eigenfunctions may be spatially inhomogeneous. The PFDEs are reduced to a three-dimensional system of ordinary differential equations and precise dynamics near bifurcation point can be revealed by two unfolding parameters. The normal forms are explicitly written as functions of the Fréchet derivatives up to the third orders and characteristic functions of the original PFDEs, and they are presented in a concise matrix notation, which greatly eases the applications to the original PFDEs and is convenient for computer implementation. This provides a user-friendly approach of showing the existence and stability of patterned stationary and time-periodic solutions with spatial heterogeneity when the parameters are near a Turing-Hopf bifurcation point, and it can also be applied to reaction-diffusion systems without delay and the retarded functional differential equations without diffusion.

研究动机与目标

• 为具有时滞的一般偏泛函微分方程（PFDEs）系统中霍普夫-稳态分支的三阶正规型计算，发展一种系统化方法。
• 克服以往方法依赖于 H5 等限制性假设的局限性，这些假设在霍普夫-稳态分支中通常不成立。
• 以弗雷chet导数和原系统特征函数的形式，提供正规型系数的显式、可计算的表达式。
• 实现对近似图灵-霍普夫分支点处非平凡时空模式（如非均匀空间稳态和周期解）的存在性与稳定性的分析。
• 通过具有基因表达时滞的扩散型Schnakenberg系统等实际模型，展示该框架的适用性。

提出的方法

• 应用中心流形约化，将原始无穷维PFDE系统在分支点附近约化为三维常微分方程（ODE）系统。
• 采用PFDE的正规型理论，特别是扩展Faria（2001, 2003）的框架，无需H5假设即可计算三阶正规型。
• 利用系统三阶及以下的弗雷chet导数和特征函数，推导出正规型系数的显式矩阵表达式。
• 利用双线性和三线性算子（Q 和 H）的对称多重线性性质，系统地以特征函数和伴随特征函数表示正规型项。
• 将展开参数（如时滞和其他控制参数）用原系统参数表示，以建立抽象正规型与物理或生物模型之间的联系。
• 在具有诺伊曼边界条件的扩散型Schnakenberg系统上验证了该方法，表明参数条件可导致稳定非均匀稳态和周期解的出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有时滞的反应-扩散系统中，系统地推导出余维二霍普夫-稳态分支的正规型？
• RQ2 三阶正规型系数的显式公式如何用原系统的弗雷chet导数和特征函数表示？
• RQ3 是否可以使正规型计算在计算上高效且可实现，特别是针对具有空间非均匀特征函数的系统？
• RQ4 如何利用推导出的正规型来确定非平凡时空模式（如非均匀空间稳态和周期解）的存在性与稳定性？
• RQ5 所提出的方法在多大程度上可推广至非时滞系统，包括经典反应-扩散系统和无扩散的泛函微分方程？

主要发现

• 本文推导出PFDEs中具有时滞的霍普夫-稳态分支的完整三阶正规型系数集合，以简洁的矩阵形式表达，适用于计算机实现。
• 正规型系数明确表示为原系统三阶及以下弗雷chet导数和特征函数的函数，可直接应用于具体模型。
• 该方法无需H5假设，而该假设在霍普夫-稳态分支中通常不成立，因此相比先前工作，其适用系统范围更广。
• 在中心流形上约化的三维ODE系统完整捕捉了分支点附近的局部动力学，包含两个可追溯至原系统参数的展开参数。
• 对于具有时滞的扩散型Schnakenberg系统，该框架可导出明确的参数条件，表明在图灵-霍普夫分支点附近可出现稳定的空间非均匀稳态和周期解。
• 该方法具有普遍性，适用于具有时滞和无时滞的反应-扩散系统，以及无扩散的泛函微分方程，展示了其在动力系统中的广泛适用性。