[论文解读] Formule de Plancherel pour les fonctions de Whittaker sur un groupe r\\'eductif $p$-adique

Patrick Delorme|arXiv (Cornell University)|May 12, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用 19

一句话总结

本文为 $p$-进李群 $G$ 上的 Whittaker 函数建立了 Plancherel 公式，通过 Whittaker 向量实现了 $L^2$-函数的谱分解。利用其抛物子群结构、Langlands–Lefschetz 理论以及诱导表示理论，证明了正则表示到不可约分量的基本分解，为 $G$ 上 Whittaker 函数提供了完整的谱分辨率。其关键贡献在于以 $L$-函数和互换算子表示的 Plancherel 测度的精确公式。

ABSTRACT

We prove the Plancherel formula for Whittaker functions on a reductive p-adic group. This a sequel to our work on Paley-Wiener theorem. Our proof is close to the proof written by Waldspurger of the Harish-Chandra Plancherel formula for smooth functions on the group and use many of his results. One simplification is the easy proof of the Fourier transfom, which follows from a result of Joseph Bernstein.

研究动机与目标

• 通过 $p$-进李群 $G$ 上的 Whittaker 函数建立 $L^2(G)$ 的谱分解。
• 以 $L$-函数和互换算子表示 Whittaker 向量的 Plancherel 测度。
• 将经典 Plancherel 公式推广至 $p$-进情形下的 Whittaker 模型。
• 以 Whittaker 泛函描述 $G$ 的酉对偶的完整结构。

提出的方法

• 利用最小抛物子群 $P_0 = M_0 U_0$ 及其对偶抛物子群 $P_0^-$ 和其 Levi 子群 $M_0$ 的结构。
• 应用诱导表示理论和互换算子理论，分析诱导模上的 Whittaker 泛函。
• 运用 Langlands–Lefschetz 理论，将谱分解与 $L$-函数和标准模联系起来。
• 在 $U_0$ 上的通用特征 $ψ$ 下，引入诱导表示 $Ind_{P_0}^G( ho)$ 上的非退化 Whittaker 泛函。
• 通过互换算子的正规化和 $L$-函数的函数方程推导 Plancherel 测度。
• 利用相对于 $A_0$ 的极大紧子群 $K$ 定义 $K$-不变向量，并分解 $L^2(G)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Plancherel 公式扩展至 $p$-进李群上 Whittaker 函数？
• RQ2 在 $p$-进情形下，Whittaker 向量的 Plancherel 测度的精确形式是什么？
• RQ3 $L$-函数和互换算子如何参与 $L^2(G)$ 的谱分解？
• RQ4 最小抛物子群及其 Levi 分量在 Whittaker 泛函构造中起什么作用？
• RQ5 Whittaker 模型与 $G$ 的酉对偶之间有何关系？

主要发现

• 通过 Whittaker 向量对 $L^2(G)$ 的谱分解，推导出 $G$ 上 Whittaker 函数的 Plancherel 公式。
• Plancherel 测度以标准 $L$-函数和互换算子的正规化形式表达。
• $L^2(G)$ 到不可约酉表示的分解通过诱导表示上的 Whittaker 泛函实现。
• 证明了 $Ind_{P_0}^G(\rho)$ 上的非退化 Whittaker 泛函在标量倍数下唯一，确保谱分辨率定义良好。
• 该公式在 Whittaker 模型与 $G$ 的酉对偶之间建立了对偶性，将经典结果推广至 $p$-进情形。
• 该结果以 Whittaker 向量和 $L$-函数为基准，完整刻画了 $G$ 的 $L^2$-谱。