[论文解读] Forward and Backward Governing EQuations for Anomalous Diffusion Models Based on the Continuous Time Random Walk

Peter Straka|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2012

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文推导了在空间和时间依赖环境中，通过耦合连续时间随机行走（CTRW）建模的异常扩散过程中，带有非局部时间算子的前向和后向柯尔莫哥洛夫方程。它建立了 CTRW 缩放极限的收敛条件，并通过四个系数表征了相应的动力学，从而实现了对时间依赖势能下的亚扩散、空间变化等待时间的亚扩散以及带漂移的 Lévy 行走的建模。

ABSTRACT

Continuous Time Random Walks (CTRWs) are jump processes with random waiting times between jumps. We study scaling limits for CTRWs where the distribution of jumps and waiting times is coupled and varies in space and time. Such processes model e.g. anomalous diffusion processes in a space- and time-dependent potential. Conditions for the process-convergence of CTRWs are given, and the limits are characterised by four coefficients. Kolmogorov forwards and backwards equations with non-local time operators are derived, and three models for anomalous diffusion are presented: i) Subdiffusion in a time-dependent potential, ii) subdiffusion with spatially varying waiting times and iii) Lévy walks with space- and time-dependent drift.

研究动机与目标

• 建立耦合 CTRW 在空间和时间依赖的跳跃与等待时间分布下弱收敛的充分条件。
• 通过四个宏观系数（代表漂移、扩散、等待时间和势能效应）表征此类 CTRW 的缩放极限。
• 推导描述异常扩散过程中概率密度演化规律的带有非局部时间算子的前向和后向柯尔莫哥洛夫方程。
• 将该框架应用于三个具体模型：时间依赖势能中的亚扩散、具有空间变化等待时间的亚扩散，以及具有空间和时间依赖漂移的 Lévy 行走。
• 为在异质和非平稳环境中对复杂异常扩散进行建模提供统一的数学基础。

提出的方法

• 使用弱收敛技术，正式推导具有耦合、空间和时间依赖的跳跃与等待时间分布的 CTRW 的缩放极限。
• 通过跳跃与等待时间分布的渐近分析，识别出四个极限系数——漂移、扩散、等待时间和势能。
• 推导带有非局部时间算子的前向柯尔莫哥洛夫方程，以描述概率密度函数的演化。
• 推导带有非局部时间算子的后向柯尔莫哥洛夫方程，以描述首次通过时间和首次退出时间的统计特性。
• 将该框架应用于三种不同的异常扩散模型：时间依赖势能中的亚扩散、具有空间变化等待时间的亚扩散，以及具有空间和时间依赖漂移的 Lévy 行走。
• 使用非局部算子捕捉异常扩散中固有的记忆效应和非马尔可夫动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有空间和时间依赖跳跃与等待时间分布的耦合 CTRW 会收敛到一个缩放极限？
• RQ2 在异常扩散背景下，如何通过一组四个宏观系数表征极限动力学？
• RQ3 当时间演化涉及非局部时间算子时，前向和后向柯尔莫哥洛夫方程的形式是什么？
• RQ4 所推导的方程如何建模时间依赖势能中的亚扩散？
• RQ5 空间变化的等待时间以及空间和时间依赖的漂移如何影响 Lévy 行走模型中的控制方程？

主要发现

• 本文建立了具有耦合、空间和时间依赖跳跃与等待时间分布的 CTRW 弱收敛到缩放极限的充分条件。
• 极限过程完全由四个系数表征：漂移、扩散、等待时间和势能，这些系数源自跳跃与等待时间分布的渐近行为。
• 所推导的前向和后向柯尔莫哥洛夫方程均带有非局部时间算子，反映了异常扩散过程的非马尔可夫特性。
• 该框架通过在控制方程中引入时变外力，成功实现了对时间依赖势能中亚扩散的建模。
• 通过允许等待时间分布依赖于位置，模型考虑了空间变化的等待时间，从而导致空间依赖的亚扩散指数。
• 通过引入同时包含弹道运动和记忆效应的非局部时间算子，Lévy 行走模型中具有空间和时间依赖漂移的情形得以准确捕捉。