[论文解读] Forward and Backward Stochastic Differential Equations with normal constraint in law

Philippe Briand, Pierre Cardaliaguet+2 more|ArXiv.org|Mar 4, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文通过基于Lions导数的平均场反射机制与Skorokhod型反射，建立了带解的分布法向约束的前向与后向随机微分方程（SDEs）的适定性。证明了解的存在性与唯一性，推导出在Wasserstein空间上具有Neumann（前向）或障碍（后向）条件的关联Fokker-Planck型偏微分方程（PDEs），并通过粒子系统逼近与收敛性分析验证了结果。

ABSTRACT

In this paper we investigate the well-posedness of backward or forward stochastic differential equations whose law is constrained to live in an a priori given (smooth enough) set and which is reflected along the corresponding ''normal'' vector. We also study the associated interacting particle system reflected in mean field and asymptotically described by such equations. The case of particles submitted to a common noise as well as the asymptotic system is studied in the forward case. Eventually, we connect the forward and backward stochastic differential equations with normal constraints in law with partial differential equations stated on the Wasserstein space and involving a Neumann condition in the forward case and an obstacle in the backward one.

研究动机与目标

• 将均值反射SDEs推广到多维情形，且约束集在分布上具有一般性。
• 在分布的法向约束下，建立前向与后向SDEs解的存在性与唯一性。
• 将此类随机系统与Wasserstein空间上的偏微分方程（PDEs）联系起来，其边界条件为Neumann（前向）或障碍（后向）。
• 分析具有共同噪声与分布约束的相互作用粒子系统的平均场极限。
• 提供粒子系统逼近到极限SDEs的严格收敛性分析。

提出的方法

• 通过约束泛函的Lions导数驱动的Skorokhod型反射项，构建带分布约束的前向与后向SDEs。
• 在Wasserstein空间上引入广义Fokker-Planck方程，描述解的分布演化，具有法向反射。
• 应用Lions在概率测度空间上的变分法，定义约束泛函H(μ)在概率测度空间中的导数。
• 使用具有共同噪声的粒子系统逼近来建模平均场极限，证明在适当条件下依分布收敛与路径收敛。
• 采用扰动论证与一致先验估计，证明粒子系统收敛到极限SDE。
• 应用Itô公式与测度空间中的随机分析，推导出具有边界条件的Wasserstein空间上的PDEs。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，通过法向反射机制实现分布约束的前向SDE在多维情形下存在唯一解？
• RQ2 解的分布如何演化？其动力学由Wasserstein空间上的何种PDE描述，且具有Neumann型边界条件？
• RQ3 具有共同噪声与分布约束的平均场相互作用粒子系统是否能收敛到具有分布法向约束的极限SDE？
• RQ4 带分布约束的后向SDE的确定性PDE对应物是什么？其与Wasserstein空间上的障碍问题有何关联？
• RQ5 粒子系统收敛到极限SDE的过程如何依赖于约束泛函与初始分布的正则性？

主要发现

• 本文在系数与约束泛函的适当正则性与有界性假设下，证明了多维情形下带分布法向约束的前向与后向SDEs的解的存在性与唯一性。
• 在前向情形下，解的分布满足Wasserstein空间上的Fokker-Planck型PDE，其边界条件为Neumann型，由约束泛函的Lions导数驱动。
• 在后向情形下，关联的PDE为障碍型，其中约束泛函定义障碍，反射项对应于法向导数。
• 粒子系统逼近依分布收敛到极限SDE，且在额外正则性假设下实现路径收敛，收敛速率通过一致估计推导得出。
• 通过扰动论证与L^p空间中的一致有界性，证明了粒子系统的收敛性，表明反射项与约束泛函在分布与L^p范数下均收敛。
• 本文证明了Wasserstein空间上极限PDEs的适定性，其解由分布空间中的Skorokhod反射条件刻画。