[论文解读] Forward-Backward Evolution Equations and Applications

Jiongmin Yong|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 4

一句话总结

本文通过两种方法——解耦与延拓——建立了前向-后向演化方程（FBEEs）的适定性。引入李雅普诺夫算子以推导一致的先验估计，确保在一般条件下存在唯一弱解，且该理论在偏微分方程最优控制问题中有应用。

ABSTRACT

Well-posedness is studied for a special system of two-point boundary value problem for evolution equations which is called a forward-backward evolution equation (FBEE, for short). Two approaches are introduced: A decoupling method with some brief discussions, and a method of continuation with some substantial discussions. For the latter, we have introduced Lyapunov operators for FBEEs, whose existence leads to some uniform a priori estimates for the mild solutions of FBEEs, which will be sufficient for the well-posedness. For some special cases, Lyapunov operators are constructed. Also, from some given Lyapunov operators, the corresponding solvable FBEEs are identified.

研究动机与目标

• 建立演化方程两点边值问题的适定性，即前向-后向演化方程（FBEEs），其动机源于无限维最优控制中的最优性系统。
• 发展两种分析方法——解耦与延拓——以证明FBEEs弱解的存在性与唯一性。
• 引入并利用李雅普诺夫算子以推导一致的先验估计，这些估计对于在不施加时间范围或利普希茨常数限制下证明适定性至关重要。
• 通过给定的李雅普诺夫算子识别可解的FBEEs，并为特殊情况（包括线性FBEEs）构造此类算子。
• 展示该理论在具体偏微分方程最优控制问题中的适用性，包括抛物型PDE问题，涵盖唯一可解性条件的验证。

提出的方法

• 本文采用引入李雅普诺夫算子的延拓方法，用于推导FBEEs弱解的一致先验估计。
• 针对特殊情况（如线性FBEEs）构造李雅普诺夫算子，其存在性确保了适定性所必需的估计。
• 该方法依赖于弱解的积分形式：$ y(t) = e^{At}x + \int_0^t e^{A(t-s)}b(s,y(s),\psi(s))ds $ 和 $ \psi(t) = e^{A^*(T-t)}h(y(T)) + \int_t^T e^{A^*(s-t)}g(s,y(s),\psi(s))ds $。
• 延拓法源自椭圆型PDE理论与正倒向随机微分方程（FBSDEs），采用同伦论证将一个可解的FBEE与一般情况连接。
• 简要讨论了解耦方法，受不变嵌入启发，旨在通过解耦场将系统约化为单个方程。
• 该理论应用于抛物型PDE最优控制问题，证明其最优性系统满足通过李雅普诺夫算子框架实现唯一可解性的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种一般条件下，前向-后向演化方程能保证存在唯一弱解，且不受时间范围长度或利普希茨常数的影响？
• RQ2 如何为FBEEs构造李雅普诺夫算子？它们在推导一致先验估计中起什么作用？
• RQ3 延拓法能否有效应用于FBEEs？存在此类算子的条件是什么？
• RQ4 李雅普诺夫算子的存在性与相应FBEE可解性之间有何关系？
• RQ5 该理论框架如何应用于具体偏微分方程最优控制问题，如具有二次型代价泛函的抛物方程？

主要发现

• 若FBEE存在李雅普诺夫算子，则其弱解具有一致先验估计，这足以保证适定性。
• 对于线性FBEEs，可显式构造李雅普诺夫算子，且在哈密顿量满足适当凸性条件时，可保证唯一可解性。
• 在抛物型PDE最优控制的实例中，最优性系统满足条件 $ \begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}\mathbb{B} + \mathbb{B}\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix} \leq 0 $，当 $ N $ 足够大且 $ \psi $ 有界时，该条件蕴含唯一可解性。
• 本文表明，当条件 $ Q_{yy}(y) \geq \|F_y(y)\|(\|G_y(\cdot)\|_\infty + \|Q_y(\cdot)\|_\infty T) + \delta $ 对某个 $ \delta > 0 $ 成立时，FBEE存在唯一弱解。
• 结合李雅普诺夫算子的延拓法，可在不需小时间范围或小利普希茨常数的条件下获得适定性结果。
• 该框架适用于一般生成元 $ A $，包括涉及微分算子的无界算子，超越对称或斜自伴的情形。