[论文解读] Forward-backward systems for expected utility maximization

Ulrich Horst|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Stochastic processes and financial applications被引用 1

一句话总结

本文提出了一种新颖的前向-后向随机微分方程（FBSDE）框架，用于表征一般效用函数下的最优投资策略，包括具有任意负债的幂函数和指数效用。通过将效用最大化问题转化为完全耦合的FBSDE系统，该方法能够将最优策略显式表征为当前财富和后向分量解的函数，从而将先前结果扩展至经典可分变量情形之外。

ABSTRACT

In this paper we deal with the utility maximization problem with a general utility function. We derive a new approach in which we reduce the utility maximization problem with general utility to the study of a fully-coupled Forward-Backward Stochastic Differential Equation (FBSDE).

研究动机与目标

• 解决在指数和幂函数效用之外，最优交易策略缺乏构造性表征的问题。
• 将现有的基于FBSDE的方法扩展至处理一般效用函数和非可对冲负债的情形。
• 提供一个统一框架，将最优策略与完全耦合的前向-后向SDE解联系起来。
• 解决幂函数效用下具有通用终值的最优策略表征这一开放问题。
• 建立最优策略为平方可积且可通过FBSDE显式构造的条件。

提出的方法

• 将效用最大化问题表述为完全耦合的前向-后向随机微分方程（FBSDE）系统。
• 通过将局部鞅最优性原理和动态规划启发式方法应用于一般效用函数，推导出FBSDE系统。
• 利用值函数的对偶表示和风险容忍度函数，将后向分量的生成器表示为效用及其导数的函数。
• 证明当初始财富高于某个阈值 x₀ 时，FBSDE存在且唯一适应解。
• 将最优策略 π* 表征为前向过程和后向解的 Z-分量的函数。
• 证明 Z-过程的平方可积性可确保最优策略的可积性以及期望效用的有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般效用函数，是否可以超越经典指数和幂函数效用情形，构造性地表征最优策略？
• RQ2 FBSDE框架如何扩展以处理幂函数效用最大化中的非可对冲负债？
• RQ3 在何种条件下，一般效用函数的完全耦合FBSDE系统存在适应解？
• RQ4 在何种条件下，最优策略为平方可积，从而在标准意义下可接受？
• RQ5 FBSDE方法能否统一处理不同效用类别的效用最大化问题？

主要发现

• 对于幂函数效用 U(x) = x^γ/γ 且 γ ∈ (0,1)，存在 x₀ > 0，使得对所有初始财富 x > x₀，FBSDE系统 (5.12) 存在适应解 (X, Y, Z)。
• 最优策略 π* 显式给出为 π*i = 1/(1−γ)(Zi + θi)，其中 i = 1, ..., d₁，Z 为FBSDE解的Z-分量。
• 若解的 ZH-分量属于 H²(Rd₁)，则最优策略 π* 为平方可积，因此在空间 Πx 中可接受。
• FBSDE的解确保 E[(XT + H)^γ] < ∞，这是期望效用有定义的必要条件。
• 该方法为具有通用负债的幂函数效用提供了最优策略的构造性表征，解决了数学金融中的一个开放问题。
• 该框架通过将效用结构直接嵌入后向方程的驱动项中，将FBSDE技术的应用范围扩展至经典效用函数之外。