[论文解读] Forward Discretely Self-Similar Solutions of the MHD Equations and the Viscoelastic Navier-Stokes Equations with Damping

Chen‐Chih Lai|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文通过Galerkin方法和基于[Bradshaw & Tsai, 2017]的先验估计，证明了在弱-L³空间中即使初始数据较大时，磁流体动力学（MHD）方程和带有阻尼的弹塑性Navier-Stokes方程也存在前向离散自相似（DSS）和自相似（SS）局部Leray弱解。关键贡献在于构造了初始数据L³_w-范数可能较大的此类解。

ABSTRACT

In this paper, we prove the existence of forward discretely self-similar solutions to the MHD equations and the viscoelastic Navier-Stokes equations with damping with large weak $L^3$ initial data. The same proving techniques are also applied to construct self-similar solutions to the MHD equations and the viscoelastic Navier-Stokes equations with damping with large weak $L^3$ initial data. This approach is based on [Z. Bradshaw and T.-P. Tsai, Ann. Henri Poincar'{e}, vol. 18, no. 3, 1095-1119, 2017].

研究动机与目标

• 将自相似和离散自相似解的存在性结果从初始数据较小的情形推广至MHD方程和带有阻尼的弹塑性Navier-Stokes方程。
• 为弱-L³空间中初始数据较大的情况构造前向DSS和SS局部Leray弱解。
• 将[Bradshaw & Tsai, 2017]的框架推广至包含磁或弹性耦合的系统。
• 验证所构造的解满足局部能量不等式及其他局部Leray解的条件。
• 证明解在空间和时间上均为光滑的，这是由自相似性与变换后系统的椭圆正则性所致。

提出的方法

• 采用自相似变换：v(x,t) = (1/√(2t)) u(x/√(2t), s)，其中s = log(√(2t))，将时变问题转化为关于s的周期性系统。
• 在变换变量s下，对MHD和弹塑性系统的近似解(u, a)和(u, G)使用Galerkin方法。
• 将解分解为u = W + U，a = D + A（或G = D + A），其中W和D为由初始数据导出的背景分布。
• 利用估计式(2.3)–(2.5)和(2.21)–(2.22)，基于初始数据的弱-L³范数，建立对U和A的先验估计。
• 对Galerkin系统应用Brouwer不动点定理，获得具有统一有界性的解序列。
• 通过在H¹和L²_loc中分别使用弱收敛和强收敛，取极限，得到H¹(R³) × H¹(R³)中的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为弱-L³中初始数据较大的MHD方程构造前向离散自相似解？
• RQ2 能否为带有阻尼的弹塑性Navier-Stokes方程，针对大(−1)-次齐次初始数据构造自相似解？
• RQ3 Galerkin方法结合[Bradshaw & Tsai, 2017]的先验估计是否可推广至具有磁场或弹性耦合的系统？
• RQ4 所构造的解是否满足局部能量不等式，能否被归类为局部Leray解？
• RQ5 解的正则性如何？自相似性如何影响解在空间和时间上的光滑性？

主要发现

• 本文构造了MHD方程在弱-L³初始数据下的前向离散自相似局部Leray弱解，即使L³_w-范数较大亦成立。
• 类似构造可得到带有阻尼的弹塑性Navier-Stokes方程在大(−1)-次齐次初始数据下的自相似局部Leray解。
• 由于自相似性和变换后系统的椭圆正则性，证明了解在空间和时间变量上均为光滑的。
• 通过Riesz变换对二次项定义压强，并在L^{q/2}中满足先验估计，其中3 < q ≤ 6。
• 通过分部积分验证了局部能量不等式，确认解满足局部Leray解的定义。
• 该方法依赖于[Bradshaw & Tsai, 2017]中的先验估计(1.25)和(1.26)，并将其扩展至MHD和带有阻尼的弹塑性系统。