[论文解读] Forward Invariance of Sets for Hybrid Dynamical Systems (Part I)

Jun Chai, Ricardo G. Sanfelice|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2018

Extremum Seeking Control Systems被引用 4

一句话总结

本文为带有状态和扰动约束的混合包含系统建模的混合动力系统提出了鲁棒前向不变性条件。它基于切锥和流/跳跃映射的性质，建立了充分条件，确保在所有允许的扰动下（包括Zeno行为和有限时间终止解）集合保持不变，应用于李雅普诺夫型次水平集及一个DC/AC变换器系统。

ABSTRACT

In this paper, tools to study forward invariance properties with robustness to dis- turbances, referred to as robust forward invariance, are proposed for hybrid dynamical systems modeled as hybrid inclusions. Hybrid inclusions are given in terms of dif- ferential and difference inclusions with state and disturbance constraints, for whose definition only four objects are required. The proposed robust forward invariance notions allow for the diverse type of solutions to such systems (with and without dis- turbances), including solutions that have persistent flows and jumps, that are Zeno, and that stop to exist after finite amount of (hybrid) time. Sufficient conditions for sets to enjoy such properties are presented. These conditions are given in terms of the objects defining the hybrid inclusions and the set to be rendered robust forward invariant. In addition, as special cases, these conditions are exploited to state results on nominal forward invariance for hybrid systems without disturbances. Furthermore, results that provide conditions to render the sublevel sets of Lyapunov-like functions forward invariant are established. Analysis of a controlled inverter system is presented as an application of our results. Academic examples are given throughout the paper to illustrate the main ideas.

研究动机与目标

• 形式化带有扰动的混合包含系统的鲁棒前向不变性，确保在所有允许扰动下解保持在集合内。
• 解决具有复杂解行为（包括Zeno行为、持续流动和有限时间终止）的混合系统中的不变性挑战。
• 利用系统数据（包括流映射和跳跃映射）推导鲁棒和名义前向不变性的充分条件。
• 将结果特化到李雅普诺夫型函数的次水平集，通过凸性或边界处严格递减性实现不变性验证。
• 通过受控单相DC/AC变换器系统的分析，展示方法的适用性，并辅以数值验证。

提出的方法

• 使用由四个核心组件定义的混合包含系统形式化鲁棒前向不变性：流集和跳跃集、流映射和跳跃映射，以及扰动约束。
• 引入四种不同的不变性概念，其中两种更强的定义要求所有最大解对在扰动下均保持在集合内。
• 基于切锥包含关系推导充分条件：流向量在集合边界点必须指向内部，跳跃映射必须保持不变性。
• 应用假设4.14以确保流映射在不变集边界处具有局部利普希茨连续性，防止解逃逸。
• 利用引理4.12及集值映射的辅助结果验证不变性条件，尤其适用于李雅普诺夫型次水平集。
• 在后续工作中采用逐点最小范数选择方案进行控制器设计，并通过MATLAB HyEQ工具箱进行数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为包含Zeno行为和有限时间解的受扰动混合系统正式定义鲁棒前向不变性？
• RQ2 在混合包含系统中，什么充分条件可确保集合在所有允许扰动下保持不变？
• RQ3 如何使李雅普诺夫型函数的次水平集在名义和鲁棒条件下保持前向不变？
• RQ4 在什么条件下可保证不变集中最大解对的存在性和完备性？
• RQ5 所提出的不变性条件如何应用于实际混合系统（如电力电子变换器）？

主要发现

• 通过流映射和跳跃映射在边界点处的像包含于集合切锥内的条件，建立了鲁棒前向不变性的充分条件。
• 当排除扰动时，名义前向不变性可作为特例恢复，此时条件退化为标准不变性准则。
• 对于李雅普诺夫型次水平集，若流映射指向内部，或函数在边界处严格递减（尤其在凸性条件下），则不变性成立。
• 当流过程中允许零扰动时，从不变集中任意点出发，非平凡且完备的解对存在性可得到保证。
• DC/AC变换器系统的数值仿真结果表明，闭环系统对所有初始条件和扰动输入均保持在目标集合内。
• 控制器设计确保输出电压呈现所需频率的正弦波形，通过补充材料中的FFT分析得到验证。