[论文解读] Foundation of Quantum Optimal Transport and Applications

Kazuki Ikeda|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文建立了经典Monge-Kantorovich最优传输理论的量子扩展，将量子最优传输形式化为在量子通道上对哈密顿量泛函的最小化问题。该框架被应用于量子行走、量子自动机和重复量子博弈，证明了首个量子folk定理：由于无误差信号监测，重复量子囚徒困境中的相互合作成为均衡，从而实现无福利损失的可持续合作。

ABSTRACT

Quantum optimal transportation seeks an operator which minimizes the total cost of transporting a quantum state to another state, under some constraints that should be satisfied during transportation. We formulate this issue by extending the Monge-Kantorovich problem, which is a classical optimal transportation theory, and present some applications. As examples, we address quantum walk, quantum automata and quantum games from a viewpoint of optimal transportation. Moreover we explicitly show the folk theorem of the prisoners' dilemma, which claims mutual cooperation can be an equilibrium of the repeated game. A series of examples would show generic and practical advantages of the abstract quantum optimal transportation theory.

研究动机与目标

• 将经典最优传输理论扩展至量子领域，特别是针对具有不可数自由度的连续系统。
• 发展一种非微扰、基于算符的量子传输形式化，以推广Monge-Kantorovich问题。
• 将该框架应用于量子信息过程，如量子行走、量子自动机和重复量子博弈。
• 证明量子博弈可支持合作均衡（如folk定理），而这类均衡在具有不完美监测的经典博弈中无法实现。
• 表明量子最优传输可实现无误差信号监测，避免经典重复博弈中常见的福利损失。

提出的方法

• 将量子最优传输形式化为带有代价、质量守恒和目标分布约束的经典哈密顿量的基态问题。
• 采用连续变量形式化，其中哈密顿量包含传输代价、源分布与目标分布约束，以及类似狄拉克δ函数的传输计划。
• 通过将传输映射识别为希尔伯特空间上的幺正演化算符，将形式化应用于量子行走和量子自动机。
• 通过引入随时间演化且带有折现的量子策略来建模重复量子博弈，收益通过与最终测量态的重叠计算得出。
• 引入一个量子策略空间，其中玩家使用幺正操作控制态演化，并在不引起测量扰动的情况下监测结果。
• 通过证明（Trigger, Trigger）策略在偏离下保持稳定，从而证明均衡的存在性，其中折现因子条件由收益比较推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将经典Monge-Kantorovich最优传输问题推广至具有连续变量和不可数自由度的量子领域？
• RQ2 如何利用保持质量守恒和目标分布约束的哈密顿量形式化来表述量子最优传输？
• RQ3 能否将量子最优传输应用于将量子行走和量子自动机建模为希尔伯特空间上的传输过程？
• RQ4 在不完美私人监测下，重复量子博弈是否能存在合作均衡？若能，其条件为何？
• RQ5 量子重复博弈中的经典folk定理的量子对应是什么？其与经典结果有何不同，原因是否在于无误差信号监测？

主要发现

• 本文证明了首个量子folk定理：即使在不完美私人监测下，重复量子囚徒困境中的相互合作仍为均衡。
• 当折现因子δ满足δ ≥ Y / (rX + Y)时，(Trigger, Trigger)策略构成纳什均衡，确保无偏离动机。
• 量子博弈避免了经典重复博弈中因不完美监测而产生的福利损失，因为量子态监测不会扰动系统或过早暴露策略。
• 该框架实现了量子系统中非微扰、连续的最优传输，潜在应用于量子场论和未来的通用量子计算机。
• 当传输计划q(x,y)被限制为{0,1}时，量子最优传输可通过量子退火形式化实现，从而在量子硬件上实现离散优化。
• 该模型通过最优传输的视角揭示了量子行走、量子自动机与量子博弈之间深层的结构联系，将三者统一于同一形式体系之下。