[论文解读] Foundations of quantum physics: a general realistic and operational approach

Diederik Aerts|ArXiv.org|May 23, 2001

Quantum Mechanics and Applications参考文献 23被引用 14

一句话总结

本文提出了一种通用且现实的量子基础形式化方法，将态、实验、概率和对称性视为基本结构。该方法基于特征闭包与正交闭包结构，提出统一框架，推导出量子力学的关键特性，如正交补和原子性，并通过引入非射线纯态的完备量子力学，提出一种新方法来处理子系统，解决了标准希尔伯特空间张量积构造中的局限性。

ABSTRACT

We present a general formalism with the aim of describing the situation of an entity, how it is, how it reacts to experiments, how we can make statistics with it, and how it changes under the influence of the rest of the universe. Therefore we base our formalism on the following basic notions: (1) the states of the entity; they describe the modes of being of the entity, (2) the experiments that can be performed on the entity; they describe how we act upon and collect knowledge about the entity, (3) the probabilities; they describe our repeated experiments and the statistics of these repeated experiments, (4) the symmetries; they describe the interactions of the entity with the external world without being experimented upon. Starting from these basic notions we formulate the necessary derived notions: mixed states, mixed experiments and events, an eigen closure structure describing the properties of the entity, an ortho closure structure introducing an orthocomplementation, outcome determination, experiment determination, state determination and atomicity giving rise to some of the topological separation axioms for the closures. We define the notion of sub entity in a general way and identify the morphisms of our structure. We study specific examples in detail in the light of this formalism: a classical deterministic entity and a quantum entity described by the standard quantum mechanical formalism. We present a possible solution to the problem of the description of sub entities within the standard quantum mechanical procedure using the tensor product of the Hilbert spaces, by introducing a new completed quantum mechanics in Hilbert space, were new 'pure' states are introduced, not represented by rays of the Hilbert space.

研究动机与目标

• 开发一种通用的量子物理形式化方法，将态、实验、概率和对称性视为独立且具有物理意义的结构。
• 提供一种比标准量子力学更具操作基础和更现实的替代方案，避免武断引入希尔伯特空间。
• 通过引入一种新的完备量子力学（其中纯态非为希尔伯特空间中的射线），解决量子力学中子系统描述的问题。
• 从物理上合理的公理出发，而非基于希尔伯特空间公设，推导出量子结构（如正交补和原子性）。
• 为在单一形式类别中统一处理量子与经典实体（包括态映射与态确定性）奠定基础。

提出的方法

• 该形式化基于四个基本概念：态（存在方式）、实验（探测行为）、概率（重复实验的统计结果）和对称性（与环境的被动相互作用）。
• 导出的结构包括混合态、混合实验、事件、特征闭包（用于性质）、正交闭包（通过闭包运算引入正交补）。
• 该形式化引入态确定性作为新公理，将态与性质区分开来，并通过态映射与态态同态定义子系统。
• 关键方程包括结果统计的公式 $<c, P_A(c)>$，以及条件 $tr(WE_k) = tr(W' E_k \otimes I_{\cal G})$，以确保子系统关系下的自洽性。
• 论文运用Piron表示定理与Soler结果，证明具有无限正交序列的正模空间即为希尔伯特空间，支持标准量子结构的推导。
• 提出一种新的完备量子力学，其中纯态并非希尔伯特空间中的射线，而是新的数学对象，通过张量积扩展实现子系统的自洽描述。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将量子基础形式化，使得态、实验与概率成为独立且具有物理意义的结构？
• RQ2 能否从更一般、更具操作基础的公理出发推导出量子力学的希尔伯特空间形式化，而非先验假设？
• RQ3 描述量子力学中子系统的正确数学结构是什么？如何与标准张量积构造相协调？
• RQ4 如何通过自同构群表示系统地将对称性纳入基础量子形式化？
• RQ5 闭包结构（特征与正交）在推导正交补与原子性等关键量子特性中起什么作用？

主要发现

• 该形式化从物理原理推导出完备性与原子性，且证明原子性等价于特征闭包结构中的 $T_1$ 分离性。
• 正交闭包结构自然导出正交补，为量子逻辑提供基础，而无需预先假设其存在。
• 论文识别出“态确定性”为一新且关键的公理，将态与性质区分开来，使形式化更具现实性。
• 提出一种新的完备量子力学，引入非辐射纯态，解决了标准张量积对子系统描述中的不一致性。
• 条件 $tr(WE_k) = tr(W' E_k \otimes I_{\cal G})$ 确保子系统与整体系统概率的一致性，从而得出约化密度算符满足 $tr(W) = 1$。
• 映射 $m: p_{W'} \mapsto p_W = m(p_{W'})$ 通过 $W = \hat{m}(W')$ 明确定义，表明子系统关系下的态演化是唯一确定的。