[论文解读] Foundations of Reasoning with Uncertainty via Real-valued Logics

Ronald Fagin, Ryan Riegel+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2020

Advanced Algebra and Logic被引用 4

一句话总结

本文提出了一套声音且强完备的公理化体系，用于基于实数逻辑进行不确定性推理，使神经符号人工智能系统能够实现精确、数学上严谨的逻辑推理。该文引入了一个参数化框架，支持加权子公式，并为关键实数逻辑提供了一种基于线性规划的决策过程，首次建立了逻辑神经网络（LNNs）的可证明声音且完备的推理系统。

ABSTRACT

Real-valued logics underlie an increasing number of neuro-symbolic approaches, though typically their logical inference capabilities are characterized only qualitatively. We provide foundations for establishing the correctness and power of such systems. We give a sound and strongly complete axiomatization that can be parametrized to cover essentially every real-valued logic, including all the common fuzzy logics. Our class of sentences are very rich, and each describes a set of possible real values for a collection of formulas of the real-valued logic, including which combinations of real values are possible. Strong completeness allows us to derive exactly what information can be inferred about the combinations of real values of a collection of formulas given information about the combinations of real values of several other collections of formulas. We then extend the axiomatization to deal with weighted subformulas. Finally, we give a decision procedure based on linear programming for deciding, for certain real-valued logics and under certain natural assumptions, whether a set of our sentences logically implies another of our sentences.

研究动机与目标

• 为实数逻辑中的逻辑推理建立一个正式且数学上严谨的基础，这些实数逻辑构成了许多现代神经符号人工智能系统的核心。
• 解决尽管实数逻辑在概率、模糊和神经符号推理中被广泛使用，却长期缺乏强完备性和声音公理化体系的问题。
• 将逻辑推理扩展至支持加权子公式，以建模如逻辑神经网络（LNNs）等系统中各组件的相对影响。
• 提出一种基于线性规划的决策过程，用于在自然假设下判断一系列实数逻辑中的逻辑蕴含关系，适用于多种实数逻辑。
• 弥合长期以来在不确定性推理形式化方面的空白，特别是针对[0,1]区间内的连续真值。

提出的方法

• 提出一个双层逻辑框架：内层为实数公式，包含连接词（例如 & 表示‘与’，⊕ 表示‘或’），外层为关于这些公式真值的古典（0-1）语句。
• 开发了一套参数化、声音且强完备的公理化体系，适用于几乎所有标准实数逻辑，包括 Łukasiewicz、乘积和Gödel逻辑。
• 将公理化体系扩展至包含加权公式，其中子公式被赋予影响系数，从而能够建模类似神经网络的激活函数。
• 提出一种基于线性规划的决策过程，用于判断一组外层语句是否逻辑蕴含另一组语句，适用于具有连续连接词的逻辑。
• 利用该框架对LNN等系统中的推理进行形式化验证，首次证明了其逻辑正确性和完备性。
• 借助模糊逻辑和有理Pavelka逻辑（RPL）中的已知结果，以定位并支持所提体系的通用性与表达力。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为支持标准连接词和加权子公式的实数逻辑，开发出一套声音且强完备的公理化体系？
• RQ2 如何形式化实数公式的逻辑推理，使得所有有效推理均可从有限组公理中推导而出？
• RQ3 在自然假设下，可使用何种决策过程来判断实数逻辑中的逻辑蕴含关系，特别是针对 Łukasiewicz、乘积和Gödel逻辑？
• RQ4 所提出的框架能否用于证明现有神经符号系统（如逻辑神经网络LNNs）的正确性与完备性？
• RQ5 该框架在表达复杂真值约束（如区间或不等式）方面的能力如何？其局限性是什么？

主要发现

• 本文提出了一套声音且强完备的公理化体系，适用于广泛类别的实数逻辑，确保所有逻辑上有效的推理均可从公理中推导出。
• 该框架具有参数化特性，可覆盖所有标准实数逻辑，包括 Łukasiewicz、乘积和Gödel逻辑，具有广泛适用性。
• 对加权子公式的扩展使得在LNN等系统中能够进行形式化推理，其中输入具有不同的影响权重，首次为这类系统提供了逻辑完备性的证明。
• 为判断一系列实数逻辑中的逻辑蕴含关系，开发了一种基于线性规划的决策过程，尤其适用于具有连续连接词的逻辑。
• 该框架能够表达复杂约束，如真值区间（例如 'φ ≥ 0.5'），但由于连续性约束，无法表达严格不等式（如 'φ > 0.5'）。
• 研究结果首次建立了LNNs的可证明声音且完备的逻辑推理系统，填补了神经符号人工智能形式化中的关键空白。