[论文解读] Foundations of Topological Stacks I

Behrang Noohi|ArXiv.org|Mar 13, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 96

一句话总结

本文建立了拓扑堆栈的基础同伦理论，引入了同伦群，并在局部连通、局部单连通的拓扑堆栈背景下建立了覆盖空间的伽罗瓦理论。本文证明了一个黎曼存在性定理，表明复代数堆栈的代数基本群同构于其对应拓扑堆栈的基本群的有限补，从而将代数不变量与拓扑不变量联系起来。

ABSTRACT

This is the first in a series of papers devoted to foundations of topological stacks. We begin developing a homotopy theory for topological stacks along the lines of classical homotopy theory of topological spaces. In this paper we go as far as introducing the homotopy groups and establishing their basic properties. We also develop a Galois theory of covering spaces for a (locally connected semilocally 1-connected) topological stack. Built into the Galois theory is a method for determining the stacky structure (i.e., inertia groups) of covering stacks. As a consequence, we get for free a characterization of topological stacks that are quotients of topological spaces by discrete group actions. For example, this give a handy characterization of good orbifolds. Orbifolds, graphs of groups, and complexes of groups are examples of topological (Deligne-Mumford) stacks. We also show that any algebraic stack (of finite type over $\mathbb{C}$) gives rise to a topological stack. We also prove a Riemann Existence Theorem for stacks. In particular, the algebraic fundamental group of an algebraic stack over $\mathbb{C}$ is isomorphic to the profinite completion of the fundamental group of its underlying topological stack. The next paper in the series concerns function stacks (in particular loop stacks) and fibrations of topological stacks. This is the first in a series of papers devoted to foundations of topological stacks.

研究动机与目标

• 发展一种系统化的拓扑堆栈同伦理论，类似于经典拓扑空间的同伦理论。
• 为拓扑堆栈的覆盖空间建立伽罗瓦理论，包括确定覆盖堆栈的惯性群的方法。
• 证明复代数堆栈可导出拓扑堆栈，从而实现拓扑不变量的转移。
• 证明堆栈的黎曼存在性定理，将代数堆栈的有限平坦覆盖与它们的拓扑对应物的有限覆盖堆栈联系起来。
• 在拓扑堆栈的框架下，统一并推广现有的理论，如轨道簇、图群和群系复形。

提出的方法

• 将拓扑堆栈定义为模莫里塔等价的广群，重点关注局部纤维化和可表示映射。
• 通过单纯化解的几何实现来定义拓扑堆栈的同伦群。
• 通过分析纤维积的连通分支并利用惯性群作为关键不变量，构建覆盖空间的伽罗瓦理论。
• 使用粗模空间和开图，将堆栈理论构造与拓扑空间联系起来。
• 证明可表示性准则，并利用它们通过拓扑黎曼存在性定理将拓扑覆盖映射提升为代数有限平坦覆盖。
• 建立代数堆栈的有限平坦映射与它们拓扑实现的有限覆盖堆栈之间的 2-范畴等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地发展拓扑堆栈的同伦理论，使其与经典拓扑空间的同伦理论相匹配？
• RQ2 惯性群在拓扑堆栈的覆盖堆栈分类中起什么作用？
• RQ3 能否通过其拓扑实现，将黎曼存在性定理从概形推广到代数堆栈？
• RQ4 拓扑堆栈如何统一并推广轨道簇、图群和群系复形等现有结构？
• RQ5 复代数堆栈的代数基本群与它的底层拓扑堆栈的基本群的有限补之间的确切关系是什么？

主要发现

• 复代数堆栈的连通代数基本群同构于其对应拓扑堆栈基本群的有限补。
• 复代数堆栈的有限平坦映射与它们拓扑实现的有限覆盖堆栈一一对应，建立了范畴等价。
• 覆盖堆栈的伽罗瓦理论提供了一种从基堆栈的基本群计算覆盖堆栈惯性群的方法。
• 任何有限型复代数堆栈均可通过其底层广群的解析化导出一个拓扑堆栈。
• 该理论将轨道簇、图群和群系复形统一为拓扑（德利涅-穆默）堆栈的特例。
• 与代数堆栈关联的拓扑堆栈保持了同伦结构，使得拓扑不变量可被转移到代数设定中。