[论文解读] Four Cubes

Szymon Łukaszyk|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2020

Graph theory and applications被引用 32

一句话总结

对 {0,1}^n 中四个图的简短综述，详细描述 cotan 拉普拉斯算子和邻接矩阵的简并谱，并与 Buckminster Fuller 向量平衡相关联。

ABSTRACT

A short survey on the properties of four graphs constructed in $\{0, 1\}^n$ Boolean space is presented. Flexible activation function of an artificial neuron in a sparse distributed memory model is defined on the basis of the Ugly duckling theorem. Cotan Laplacian on 2-face triangulation of $n$-cube has degenerate spectrum of eigenvalues corresponding to the Hamming distance distribution of $\{0, 1\}^n$ space. Degenerate spectrum of eigenvalues of the cotan Laplacian defined on the graph comprising $2^n$ 2-face triangulated $n$-cubes sharing common origin includes all integers from 0 to 3$n$, without the eigenvalue of 3$n$-1 (multiplicities of the same eigenvalues form A038717 OEIS sequence), while the multiplicities of the same eigenvalues $[-n\sqrt{2}, n\sqrt{2}]$ of the adjacency matrix of $2^n$-cube form trinomial triangle. The distance matrix of this graph, providing further OEIS sequences, as well as its relation with Buckminster Fuller vector equilibrium is also discussed.

研究动机与目标

• 动机与综述在布尔空间 {0,1}^n 构建的四个图的性质。
• 探讨这些图上 cotan 拉普拉斯算子的谱性质。
• 检查特征值简并性如何与汉明距离分布相关。
• 讨论距离矩阵与 OEIS 序列以及向量平衡概念之间的关系。

提出的方法

• 在 {0,1}^n 中定义并分析这四个图及其度量和谱性质。
• 使用 cotan 拉普拉斯算子和邻接矩阵来研究特征值分布。
• 识别简并性及其通过汉姆距离分布的组合解释。
• 将距离矩阵与 OEIS 序列以及 Buckminster Fuller 向量平衡相关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 四立方构造上的 cotan 拉普拉斯算子的谱性质（简并性）是什么？
• RQ2 cotan 拉普拉斯算子和邻接矩阵的特征值分布如何与 {0,1}^n 的汉明距离相关？
• RQ3 从这些谱中会出现哪些组合或几何解释（例如 OEIS 序列、向量平衡）？

主要发现

• 在 n 维立方体的 2-面三角化上的 cotan 拉普拉斯算子具有与汉明距离分布相关的简并谱。
• 在共享原点的 2^n 个 2-面三角化的 n-立方图上的 cotan 拉普拉斯算子具有从 0 到 3n 的特征值，但不包括 3n-1，其重数形成 OEIS A038717。
• 2^n 立方的邻接特征值形成三项三角形。
• 距离矩阵产生额外的 OEIS 序列，并与 Buckminster Fuller 向量平衡相关。