[论文解读] Four dimensional static and related critical spaces with harmonic curvature

Jongsu Kim, Jinwoo Shin|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文分类了四维黎曼流形中具有调和曲率且满足涉及里奇张量与数量曲率的广义静态型方程的非平凡解的流形。通过利用调和曲率导出的Codazzi张量性质，并借鉴梯度里奇孤立子分析的技术，作者证明了任一此类流形在局部上同构于五类模型空间之一——即2-球面或双曲平面的乘积、静态空间、共形平坦的静态度量，或里奇平坦度量——从而完成了四维具有调和曲率的静态空间、Miao-Tam临界空间及V-静态空间的局部分类。

ABSTRACT

In this article we study any 4-dimensional Riemannian manifold $(M,g)$ with harmonic curvature which admits a smooth nonzero solution $f$ to the following equation \begin{eqnarray} \label{0002bx} abla df = f(Rc -\frac{R}{n-1} g) + x Rc+ y(R) g. \end{eqnarray} where $Rc$ is the Ricci tensor of $g$, $x$ is a constant and $y(R)$ a function of the scalar curvature $R$. We show that a neighborhood of any point in some open dense subset of $M$ is locally isometric to one of the following five types; { m (i)} $ \mathbb{S}^2(\frac{R}{6}) imes \mathbb{S}^2(\frac{R}{3})$ with $R>0$, { m (ii)} $ \mathbb{H}^2(\frac{R}{6}) imes \mathbb{H}^2(\frac{R}{3}) $ with $R<0$, where $\mathbb{S}^2(k) $ and $\mathbb{H}^2(k) $ are the two-dimensional Riemannian manifold with constant sectional curvature $k>0$ and $k<0$, respectively, { m (iii)} the static spaces in Example 3 below, { m (iv)} conformally flat static spaces described in Kobayashi's \cite{Ko}, and { m (v)} a Ricci flat metric. We then get a number of Corollaries, including the classification of the following four dimensional spaces with harmonic curvature; static spaces, Miao-Tam critical metrics and $V$-static spaces. The proof is based on the argument from a preceding study of gradient Ricci solitons \cite{Ki}. Some Codazzi-tensor properties of Ricci tensor, which come from the harmonicity of curvature, are effectively used.

研究动机与目标

• 对四维黎曼流形中具有调和曲率且存在涉及里奇张量与数量曲率的广义静态方程非平凡解的流形进行分类。
• 通过将调和曲率作为结构约束，扩展先前对静态、Miao-Tam临界及V-静态空间的分类。
• 利用里奇孤立子理论中的几何与分析技术，对这类空间提供完整的局部分类，包括非共形平坦的情形。
• 通过识别零数量曲率下的非共形平坦例子，解决四维Miao-Tam临界度量共形平坦性问题的开放疑问。

提出的方法

• 分析四维黎曼流形上非平凡函数f满足的方程 ∇²f = f(Rc - R/(n-1)g) + x·Rc + y(R)g，其中曲率具有调和性。
• 应用由里奇曲率张量调和性导出的Codazzi张量性质，以约束里奇张量的结构。
• 借鉴先前梯度里奇孤立子研究的方法，分析函数f的水平集的局部几何。
• 通过方程的迹，将数量曲率R与函数f及常数x、y(R)关联，基于R的符号与常数性进行情形分析。
• 对在扭曲乘积结构上导出的常微分方程组进行分情况分析，识别出五类不同的局部模型几何。
• 通过验证与已知分类（如Kobayashi对共形平坦静态空间的分类）的一致性，确认结果，并将其推广至非共形平坦情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 四维黎曼流形中具有调和曲率且存在广义静态方程非平凡解的局部几何模型是什么？
• RQ2 是否存在四维具有调和曲率的非共形平坦Miao-Tam临界度量？
• RQ3 四维Miao-Tam临界度量的曲率调和性是否蕴含共形平坦性？
• RQ4 对于具有调和曲率的完整四维V-静态或临界点度量，是否可超越共形平坦情形进行分类？
• RQ5 四维闭流形上具有调和曲率的临界点度量是否必然满足爱因斯坦条件，即使流形非闭？

主要发现

• 任意四维黎曼流形若具有调和曲率且存在广义静态方程的非平凡解f，则其在局部上同构于五类模型空间之一：当R>0时为S²(R/6)×S²(R/3)，当R<0时为H²(R/6)×H²(R/3)，示例3中的静态空间，Kobayashi [18] 中的共形平坦静态空间，或里奇平坦度量。
• 非共形平坦的静态空间存在，其形式为R¹×W³且数量曲率为零，其中W³为三维共形平坦静态空间。
• 对于具有调和曲率的Miao-Tam临界度量，若边界微分同胚于S³，且流形单连通且紧致，则其微分同胚于R⁴、H⁴或S⁴中的测地球。
• 在完整四维流形上具有调和曲率的临界点度量（满足∇²f = f(Rc - R/(n-1)g) + Rc - R/n·g）要么是共形平坦的，要么微分同胚于R¹×W³的商空间，且数量曲率为零。
• 存在零数量曲率下临界点度量的非共形平坦例子；对于正数量曲率，存在周期性扭曲乘积结构（如R×_h N(1)），且f非周期。
• 该分类列出了所有可能的局部模型，通过明确展示非共形平坦情形，解决了此类空间必为共形平坦的猜想。