[论文解读] Four families of orthogonal polynomials of C2 and symmetric and antisymmetric generalizations of sine and cosine functions

Lenka Motlochová, J. Patera|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2011

Mathematical functions and polynomials参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文提出四类二维正交多项式，源自正弦与余弦函数的对称与反对称推广，与李群 $C_2$（同构于 $Sp(4)$ 或 $O(5)$）相关。通过将三角函数轨道函数经变量代换转化为多项式形式，作者建立了递推关系、带权函数的正交性及三角恒等式，识别出两个新函数族（$C^{-}$ 与 $S^{+}$），尽管在李理论中此前未被赋予角色，但其具备强大的结构特性。

ABSTRACT

Four families of generalizations of trigonometric functions were recently introduced. In the paper the functions are transformed into four families of orthogonal polynomials depending on two variables. Recurrence relations for construction of the polynomials are presented. Orthogonality relations of the four families of polynomials are found together with the appropriate weight fuctions. Tables of the lowest degree polynomials are shown. Numerous trigonometric-like identities are found. Two of the four families of functions are identified as the functions encountered in the Weyl character formula for the finite dimensional irreducible representations of the compact Lie group Sp(4). The other two families of functions seem to play no role in Lie theory so far in spite of their analogous `good' properties.

研究动机与目标

• 从三角函数的对称与反对称推广出发，构造二维正交多项式四类。
• 建立递推关系，以任意阶次生成这些多项式。
• 为每类多项式族确定正交关系及其对应的权函数。
• 揭示广义三角函数与紧李群 $Sp(4)$（即 $C_2$）表示理论之间的新联系。
• 识别出两个新函数族 $C^{-}$ 与 $S^{+}$，其表现出‘混合’对称行为，具备已知 $C$-与 $S$-函数的所有理想性质，但此前在李理论中未被识别。

提出的方法

• 通过从基本权基到正交基的线性变量替换，将正弦与余弦的对称与反对称推广转化为多项式形式。
• 在第4.2–4.5节中推导递推关系，以递归方式生成任意所需阶次的多项式。
• 利用外尔特征公式及李群理论中的离散化原理，建立多项式族的连续与离散正交性。
• 将四类函数族识别为 $C_2$ 李代数的轨道函数，其中 $\cos^{+}$ 与 $\sin^{-}$ 分别对应于已知的 $C$-与 $S$-函数。
• 为四类函数族推导类似三角恒等式，包括涉及 $\cos^{\pm}$ 与 $\sin^{\pm}$ 的积化和差与和差化积关系。
• 证明 $C^{-}$ 与 $S^{+}$ 族虽此前未在李理论中被识别，但满足与标准 $C$-与 $S$-函数相同的‘优良’性质（如正交性、递推关系、边界行为）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将二维变量中正弦与余弦函数的对称与反对称推广转化为正交多项式？
• RQ2 由此产生的多项式族的递推关系与正交性质为何？
• RQ3 四类函数族中，哪些对应于 $Sp(4)$ 的外尔特征公式中的已知轨道函数？
• RQ4 $C^{-}$ 与 $S^{+}$ 族虽未出现在标准李理论中，是否具备与 $C$-与 $S$-函数相同的结构与正交性质？
• RQ5 轨道函数的离散化能否推广至多项式层次？其在调和分析与表示理论中的应用有何意义？

主要发现

• $\cos^{+}_{(\lambda,\mu)}$ 与 $\sin^{-}_{(\lambda,\mu)}$ 函数在 $C_2$ 李代数的外尔特征公式中，恰好对应于已知的 $C$-与 $S$-函数。
• $\cos^{-}_{(\lambda,\mu)}$ 与 $\sin^{+}_{(\lambda,\mu)}$ 函数被识别为两类新族，记为 $C^{-}$ 与 $S^{+}$，其在基本域边界表现出混合对称行为，且此前在李理论中未被识别。
• 四类多项式满足递推关系，可生成任意阶次，最低阶多项式表列于附录2中。
• 为所有四类多项式族建立了正交关系，每类均有特定权函数，实现基于 $C_2$ 根系对称性的连续与离散正交性。
• 为所有四类函数族推导出类似三角恒等式，包括积化和差与和差化积公式，具体方程（如 (65)–(68)）表明其代数封闭性。
• 该多项式构造方法可推广至任意秩 $n > 2$，且通过使用特征 $\chi_{\omega_1}$ 与 $\chi_{\omega_2}$ 等替代变量选择，可获得等价多项式族，且在某些应用中可能具有优势。