[论文解读] Four lectures on quasi-local mass

Mu‐Tao Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于最优等距嵌入到闵考斯基时空的广义相对论中准局部质量与能量的新定义，通过变分原理建立了准局部能量的正性和稳定性。其主要贡献是一个严格的框架，确保了物理一致性，并为有限区域提供了质量的几何解释，适用于引力能量和时空几何的研究。

ABSTRACT

This note is based on a series of four lectures the author gave at University of Montpellier, September 28-30, 2015. He started with the notion of mass in general relativity, gave a brief review of some known constructions of quasi-local mass, and then discussed the new quasi-local energy and quasi-local mass which Shing-Tung Yau and the author introduced in 2009. At the end, the proof of the positivity of quasi-local energy was sketched and a stability theorem of critical points of quasi-local energy by Po-Ning Chen, Shing-Tung Yau, and the author was discussed.

研究动机与目标

• 为解决广义相对论中有限区域准局部质量的物理意义定义这一长期存在的问题，特别是当总质量无法直接获取时。
• 发展一种几何一致且物理动机充分的准局部能量与质量定义，使其在渐近平坦时空下退化为已知量。
• 通过临界点分析，建立所提准局部能量的正性并证明其在小扰动下的稳定性。
• 基于最优等距嵌入，提供一个变分框架，将二维曲面上的几何数据与闵考斯基时空中的能量-动量联系起来。
• 将现有准局部能量结果推广至非对称和非时间平坦的配置，扩展其在一般类空曲面中的适用性。

提出的方法

• 准局部能量被定义为一个泛函，涉及闵考斯基时空中的曲面总平均曲率以及依赖于 lapse 函数 τ 和曲面外几何的修正项。
• 该方法采用将类空二维曲面最优等距嵌入到闵考斯基时空 R^{3,1} 中，其中嵌入被选择为使能量泛函最小化。
• 能量泛函以物理平均曲率 |H|、1-形式 α_H 和 lapse 函数 τ = -⟨X, T₀⟩ 表达，通过诱导度量 σ 的度量形变计算变分。
• 推导出能量泛函的欧拉-拉格朗日方程，导出涉及 τ 的海塞矩阵、τ 的梯度和平均曲率向量的方程组，构成最优等距嵌入系统。
• 通过二阶变分分析稳定性，关键比较定理表明能量下界由临界能量与一个依赖于嵌入几何的非负项之和构成。
• 证明了准局部质量密度 ρ 的正性等价于 |H₀| > |H|，其中 H₀ 是嵌入曲面在 R^{3,1} 中的平均曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为广义相对论中有限区域的准局部质量提出一种物理一致且几何自然的定义？
• RQ2 所提出的准局部能量泛函是否满足正性条件，确保物理构型下能量非负？
• RQ3 能量泛函的临界点在曲面几何或嵌入数据的小扰动下是否稳定？
• RQ4 新定义在渐近平坦时空下如何退化为已知的总质量？
• RQ5 何种几何条件可确保给定类空二维曲面的最优等距嵌入存在且唯一？

主要发现

• 若最优等距嵌入在闵考斯基时空中的平均曲率满足 |H₀| > |H|，则准局部能量被证明为正，这等价于准局部质量密度 ρ 的正性。
• 临界点的稳定性得以确立：若准局部质量密度 ρ 为正，则临界点 (X, T₀) 为局部最小值。
• 比较定理表明，对于任意具有正高斯曲率的度量 σ + dτ⊗dτ 的嵌入 (X, T₀)，有 E(X, T₀) ≥ E(𝑋̄, 𝑇̄₀) + E(𝑋̄(Σ), X, T₀)，等号成立当且仅当 τ - τ₀ 为常数。
• 该方法适用于一般类空曲面，包括非对称和非时间平坦情形，扩展了以往仅限于时间平坦或球对称配置的结果。
• 该框架允许最优等距嵌入系统的微扰解，使该方法可应用于数值 relativity 和时空几何的稳定性分析。
• 能量泛函在重参数化下不变，且仅依赖于曲面的内蕴与外几何时数据，确保了物理一致性。