[论文解读] Four Random Permutations Conjugated by an Adversary Generate $S_n$ with High Probability

Robin Pemantle, Yuval Peres+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文证明了在对称群 $S_n$ 中，四个独立均匀随机的排列，即使各自被对手共轭，当 $n \to \infty$ 时，仍以正的下界概率生成 $S_n$。证明依赖于循环结构分析、和集交集以及涉及泊松近似和循环长度约束的随机耦合技术，以建立这些排列必然生成一个传递子群，从而得出在给定条件下它们以高概率生成 $S_n$ 的结论。

ABSTRACT

We prove a conjecture dating back to a 1978 paper of D.R.\ Musser~\cite{musserirred}, namely that four random permutations in the symmetric group $\mathcal{S}_n$ generate a transitive subgroup with probability $p_n > ε$ for some $ε> 0$ independent of $n$, even when an adversary is allowed to conjugate each of the four by a possibly different element of $§_n$ (in other words, the cycle types already guarantee generation of $\mathcal{S}_n$). This is closely related to the following random set model. A random set $M \subseteq \mathbb{Z}^+$ is generated by including each $n \geq 1$ independently with probability $1/n$. The sumset $ ext{sumset}(M)$ is formed. Then at most four independent copies of $ ext{sumset}(M)$ are needed before their mutual intersection is no longer infinite.

研究动机与目标

• 解决穆瑟（Musser）于1978年提出的长期悬而未决的猜想：即在 $S_n$ 中，四个随机排列即使在对手共轭下，也以不依赖于 $n$ 的正的下界概率生成 $S_n$。
• 建立四个随机排列的循环类型足以在每个排列均被对手共轭的情况下生成 $S_n$，从而意味着对称群的不变生成。
• 分析循环类型度数的和集结构，证明其相互交集为无限集意味着对应排列生成一个传递子群。
• 开发用于控制循环计数偏差的四阶矩的概率界限的随机工具，结合泊松近似与随机排列中的耦合论证。
• 通过证明长素数循环（位于 $[n/2+1, n-5]$ 区间内）极有可能通过模素数的随机采样被检测到，将乔丹定理在长素数循环上的应用扩展到多项式伽罗瓦群的蒙特卡洛测试框架中。

提出的方法

• 利用弗罗贝尼乌斯密度定理和戴德金的定理，将模素数的因式分解类型与伽罗瓦群中的循环类型联系起来，从而实现对循环结构的随机采样。
• 通过分析循环类型度数集合的和集是否在 0 和 $n$ 之外存在公共交集，来应用“不变生成”的概念，从而推导出传递生成。
• 采用实际排列循环计数与泊松随机变量之间的耦合论证，通过分布间的总变差距离来界定某一循环长度存在的概率。
• 通过将循环贡献分解为小循环和大循环两部分，建立避免生成 $S_n$ 的概率的四阶矩界限。
• 利用阿拉萨蒂-塔瓦雷引理估计随机排列仅包含长度至少为 $m(n)$ 的循环的概率，证明该概率以 $1/m(n)$ 的速率衰减，这对控制耦合论证中的尾部概率至关重要。
• 将循环向量 ${\bf y}$ 分解为 ${\bf y}'$（小循环）和 ${\bf y}''$（大循环），并通过条件化特定元素位于长循环中的事件来界定大循环的贡献，利用交换性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \to \infty$ 时，四个在 $S_n$ 中均匀随机的排列，即使每个都经过对手共轭，是否仍以正的下界概率生成 $S_n$？
• RQ2 循环类型和集的何种条件可确保对应排列必然生成 $S_n$ 的传递子群？
• RQ3 如何在随机排列中控制给定长度循环数的四阶矩，以控制生成 $S_n$ 失败的概率？
• RQ4 在具有循环长度限制的随机排列背景下，循环计数的泊松近似在多大程度上能准确反映真实分布？
• RQ5 在伽罗瓦群为典型的假设下，能否通过模素数的因式分解类型随机采样可靠地检测到长度位于 $[n/2+1, n-5]$ 区间内的长素数循环和奇排列？

主要发现

• 本文证明了在 $S_n$ 中，四个随机排列即使各自被对手共轭，仍以满足 $p_n > \varepsilon$ 的概率生成 $S_n$，其中 $\varepsilon > 0$ 为与 $n$ 无关的常数，从而证实了穆瑟1978年的猜想。
• 四个随机排列的循环类型度数集合的和集以高概率存在除 0 和 $n$ 外的公共交集，这意味着这些排列必然生成一个传递子群。
• 概率向量 $\tilde{q}_n$（表示生成传递子群的可能性）的四阶矩被有界为 $O(\log^3 n / n)$，这确保了级数的收敛性，从而支持了主要结论。
• 随机排列仅包含长度至少为 $m(n)$ 的循环的概率被控制在 $1/m(n) + o(1)$ 以内，其中 $m(n) \sim N / \log^2 N$，这对控制耦合论证中的尾部行为至关重要。
• 实际循环计数分布与泊松近似之间的总变差距离被控制在 $n^{-C \log \log n}$ 以内，其衰减速率超过任意多项式，从而为分析中使用泊松启发式方法提供了合理性。
• 证明表明，未能生成 $S_n$ 的概率衰减得足够快，从而确保即使在对手共轭下，四个此类排列仍以正的下界概率生成 $S_n$。