[论文解读] Fourier Cosine and Sine Transform on fractal space

Guang-Sheng Chen|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2011

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文利用局部分数阶微积分，在分形空间上引入了局部分数阶傅里叶余弦和正弦变换，将经典变换推广至处理连续分形函数。文中建立了如Parseval恒等式和卷积定理等关键性质，并将该方法应用于求解局部分数阶微分方程，通过一个二阶局部分数阶常微分方程的解析解展示了该方法的有效性，其解以Mittag-Leffler函数表示。

ABSTRACT

In this paper, we establish local fractional Fourier Cosine and Sine Transforms on fractal space, considered some properties of local fractional Cosine and Sine Transforms, show applications of local fractional Fourier Cosine and Sine transform to local fractional equations with local fractional derivative.

研究动机与目标

• 使用局部分数阶微积分，在分形集（分形维数为α）上发展局部分数阶傅里叶余弦和正弦变换。
• 为这些变换建立基本性质，如Parseval恒等式、卷积定理和反演公式。
• 将变换应用于求解涉及局部分数阶导数的局部分数阶微分方程。
• 通过特定局部分数阶常微分方程的解析解，展示该方法的实用性。

提出的方法

• 通过利用余弦和正弦函数在分形集上的偶对称性和奇对称性，推导出局部分数阶傅里叶余弦和正弦积分公式。
• 通过积分式 $ F_{\alpha,c}\{f(x)\} = \frac{2}{\Gamma(1+\alpha)}\int_0^\infty f(x)\cos_\alpha(\omega^\alpha x^\alpha)(dx)^\alpha $ 定义局部分数阶傅里叶余弦变换。
• 将反向局部分数阶傅里叶余弦变换定义为 $ f(x) = \frac{2}{(2\pi)^\alpha}\int_0^\infty f_{\omega,c}^{F,\alpha}(\omega)\cos_\alpha(\omega^\alpha x^\alpha)(d\omega)^\alpha $。
• 将局部分数阶傅里叶正弦变换应用于求解带有初始条件的二阶局部分数阶微分方程。
• 利用局部分数阶正弦变换的线性性与变换规则，包括恒等式 $ F_{\alpha,s}\{y^{(2\alpha)}(t)\} = -\omega^{2\alpha}F_{\alpha,s}\{y(t)\} + 2\omega^\alpha y(0) $。
• 采用部分分式分解与反变换，将解表示为Mittag-Leffler函数的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用局部分数阶微积分，将经典傅里叶余弦和正弦变换推广至分形维数为α的分形集上的函数？
• RQ2 局部分数阶傅里叶余弦和正弦变换的基本性质（如Parseval恒等式和卷积定理）是什么？
• RQ3 局部分数阶傅里叶正弦变换能否有效应用于求解具有局部分数阶导数的局部分数阶微分方程？
• RQ4 如何利用局部分数阶正弦变换方法求解一个二阶局部分数阶常微分方程的解析解？

主要发现

• 局部分数阶傅里叶余弦变换定义为 $ F_{\alpha,c}\{f(x)\} = \frac{2}{\Gamma(1+\alpha)}\int_0^\infty f(x)\cos_\alpha(\omega^\alpha x^\alpha)(dx)^\alpha $，并给出了相应的反演公式。
• 函数 $ E_\alpha(-at^\alpha) $ 的局部分数阶傅里叶正弦变换为 $ \frac{2\omega^\alpha}{a^2 + \omega^{2\alpha}} $，其余弦变换为 $ \frac{2a}{a^2 + \omega^{2\alpha}} $。
• 局部分数阶正弦变换的Parseval恒等式为 $ \int_0^\infty |f_{\omega,s}^{F,\alpha}(\omega)|^2 (d\omega)^\alpha = \frac{(2\pi)^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)} \int_0^\infty |f(x)|^2 (dx)^\alpha $。
• 局部分数阶余弦变换的卷积定理为 $ \int_0^\infty f_{\omega,s}^{F,\alpha}(\omega)g_{\omega,s}^{F,\alpha}(\omega)\cos_\alpha(\omega^\alpha x^\alpha)(d\omega)^\alpha = \frac{(2\pi)^\alpha}{2\Gamma(1+\alpha)} \int_0^\infty f(\xi)[g(\xi+x)+g(\xi-x)](d\xi)^\alpha $。
• 局部分数阶常微分方程 $ y^{(2\alpha)} - 9y(t) = 50E_\alpha(-2t^\alpha) $ 在初始条件 $ y(0) = y_0 $ 下的解为 $ y(t) = (y_0 + 10)E_\alpha(-3t^\alpha) - 10E_\alpha(-2t^\alpha) $。
• 该方法通过将微分方程转化为变换域中的代数方程，再利用已知变换对进行反演，成功求解了该方程。