[论文解读] Fourier Multiplier Norms of Spherical Functions on the Generalized Lorentz Groups

Troels Steenstrup|ArXiv.org|Nov 25, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文利用表示论与调和分析技术，为广义洛伦兹群 $SO_0(1,n)$（$n \geq 2$）上球函数的完全有界傅里叶乘子范数提供了闭式表达式。关键结果表明，这些范数作为谱参数的函数是无界的，意味着不存在统一的上界，且该结论可推广至 $SU(1,n)$、$Sp(1,n)$ 和 $F_{4(-20)}$，证明了存在完全有界傅里叶乘子，其并非任何一致有界表示的系数。

ABSTRACT

Our main result provides a closed expression for the completely bounded Fourier multiplier norm of the spherical functions on the generalized Lorentz groups. As a corollary, we find that there is no uniform bound on the completely bounded Fourier multiplier norm of the spherical functions on the generalized Lorentz groups. We extend the latter result to the remaining connected, real rank one, simple Lie groups with finite center, and as an application we obtain that each of the above mentioned groups has a completely bounded Fourier multiplier, which is not the coefficient of a uniformly bounded representation of the group on a Hilbert space.

研究动机与目标

• 计算广义洛伦兹群 $SO_0(1,n)$（$n \geq 2$）上球函数的完全有界傅里叶乘子范数。
• 确定这些范数在所有球函数上是否存在统一上界。
• 将乘子范数的无界性结果推广至其他半单李群：$SU(1,n)$、$Sp(1,n)$ 和 $F_{4(-20)}$。
• 证明存在完全有界傅里叶乘子，其并非希尔伯特空间上一致有界酉表示的系数。

提出的方法

• 通过存在有界映射 $P, Q: G \to \mathscr{H}$ 使得 $\varphi(y^{-1}x) = \langle P(x), Q(y) \rangle$ 来刻画完全有界傅里叶乘子。
• 利用 $(SO_0(1,n), SO(n))$ 的盖尔范德对结构分析 $K$-双不变球函数。
• 采用 $K = SO(n)$ 上的哈尔测度的积分表示，将乘子范数表达为在 $K$ 上的平均值。
• 运用特殊函数理论，特别是伽马函数，推导出范数的闭式表达式。
• 利用球函数的对称性与不变性性质，将范数计算简化为在群陪集上的测度论平均。
• 通过这些群在球函数理论与表示论性质上的结构相似性，将结果推广至其他群。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n \geq 2$，广义洛伦兹群 $SO_0(1,n)$ 上球函数的完全有界傅里叶乘子范数的精确值是什么？
• RQ2 是否存在一个统一的上界，使得所有 $SO_0(1,n)$ 上球函数的完全有界傅里叶乘子范数均不超过该值？
• RQ3 能否将 $SO_0(1,n)$ 上乘子范数的无界性结果推广至其他半单李群，如 $SU(1,n)$、$Sp(1,n)$ 和 $F_{4(-20)}$？
• RQ4 完全有界傅里叶乘子的无界性是否意味着不存在一致有界表示，其系数可实现这些乘子？

主要发现

• 在 $SO_0(1,n)$ 上，球函数 $\varphi_s$ 的完全有界傅里叶乘子范数由包含伽马函数的闭式表达式给出： \\n$$ \|\varphi_s\|_{M_0A(G)} = \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2}+\mathrm{Re}(s)\right)\Gamma\left(\frac{m}{2}-\mathrm{Re}(s)\right)\Gamma\left(\frac{m}{2}+i\mathrm{Im}(s)\right)\Gamma\left(\frac{m}{2}-i\mathrm{Im}(s)\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)^2 \left|\Gamma\left(\frac{m}{2}+s\right)\Gamma\left(\frac{m}{2}-s\right)\right|} $$ 其中 $|\mathrm{Re}(s)| < \frac{m}{2}$，且 $m = n-1$。
• 当 $s = \pm \frac{m}{2}$ 时，范数恰好为 1。
• 当 $\mathrm{Re}(s)$ 趋近于 $\pm \frac{m}{2}$ 时，范数无界，意味着在 $SO_0(1,n)$ 上所有球函数的完全有界傅里叶乘子范数不存在统一上界。
• 该无界性结果可推广至 $SU(1,n)$、$Sp(1,n)$（$n \geq 2$）以及例外群 $F_{4(-20)}$，表明在这些情形下也存在相同现象。
• 作为推论，这些群上存在完全有界傅里叶乘子，其并非任何希尔伯特空间上一致有界表示的系数。
• 该构造依赖于将乘子从离散子群 $\Gamma$ 扩展至更大的群 $\Gamma'$，在保持完全有界性的同时，确保其无法来源于一致有界表示。