[论文解读] Fourier Neural Operator with Learned Deformations for PDEs on General Geometries

Zongyi Li, Daniel Zhengyu Huang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 147

一句话总结

Geo-FNO extends Fourier Neural Operator to arbitrary geometries by learning a deformation from irregular physical domains to a uniform latent space, enabling FFT-based solving on general meshes with end-to-end training.

ABSTRACT

Deep learning surrogate models have shown promise in solving partial differential equations (PDEs). Among them, the Fourier neural operator (FNO) achieves good accuracy, and is significantly faster compared to numerical solvers, on a variety of PDEs, such as fluid flows. However, the FNO uses the Fast Fourier transform (FFT), which is limited to rectangular domains with uniform grids. In this work, we propose a new framework, viz., geo-FNO, to solve PDEs on arbitrary geometries. Geo-FNO learns to deform the input (physical) domain, which may be irregular, into a latent space with a uniform grid. The FNO model with the FFT is applied in the latent space. The resulting geo-FNO model has both the computation efficiency of FFT and the flexibility of handling arbitrary geometries. Our geo-FNO is also flexible in terms of its input formats, viz., point clouds, meshes, and design parameters are all valid inputs. We consider a variety of PDEs such as the Elasticity, Plasticity, Euler's, and Navier-Stokes equations, and both forward modeling and inverse design problems. Geo-FNO is $10^5$ times faster than the standard numerical solvers and twice more accurate compared to direct interpolation on existing ML-based PDE solvers such as the standard FNO.

研究动机与目标

• 解决将 FFT-based 神经算子应用于不规则几何和非均匀网格的挑战。
• 开发一个几何感知框架，将物理域变形为统一的潜在空间，以用于谱方法。
• 实现域变形与算子联合端到端学习，以提高精度。
• 展示在多种 PDE（Elasticity、Plasticity、Euler、Navier–Stokes）上的正向问题和逆向设计的适用性。

提出的方法

• 通过从物理域学习一个（微同胚的）形变到单位圆环来引入 geo-FNO，从而可在潜在空间中应用 FFT。
• 定义前向和逆向几何傅里叶变换，结合形变（F_a 和 F_a^{-1}）及相应的雅可比加权。
• 用神经网络参数化形变映射，并与 Geo-FNO 算子端到端训练。
• 输入格式包括点云、非均匀网格和设计参数；特殊情况简化为在结构化网格上的标准 FNO。
• 在频谱空间使用基于傅里叶的全局卷积（K_l）及激活层来逼近解算子；在拓扑不规则时扩展到 Fourier continuation。
• 可选地将复杂域嵌入到规则的超集并应用 Fourier continuation 以在非同胚域上实现谱解算。

实验结果

研究问题

• RQ1 Geo-FNO 是否能够在具有不规则网格的任意几何上准确逼近解算子？
• RQ2 与基于插值或固定变形的方法相比，学习域变形是否能提高精度和速度？
• RQ3 Geo-FNO 在正向PDE问题（Elasticity、Plasticity、Euler、Navier–Stokes）以及逆设计任务中的表现如何？
• RQ4 相对于传统求解器和其他基于 ML 的 PDE 代理，计算增益是多少？
• RQ5 是否可以在端到端框架中将形变与算子联合学习，以实现端到端可微的设计优化？

主要发现

• Geo-FNO 在翼型问题上实现显著的速度提升，最快可比传统求解器快到 1e5 倍。
• 带有学习变形的 Geo-FNO 相比插值基 ML 求解器误差更低，在报告的测试中也优于如 GraphNO 和 DeepONet 等网格自由方法。
• 端到端学习的变形（相对于固定 R- 或 O-网格）在测试的 Elasticity、Pipe flow 和 Plasticity 问题上提高了精度。
• 当输入为结构化网格时，Geo-FNO 简化为标准 FNO，保留 FFT 的效率；所学习的变形主要有助于不规则几何。
• 推理时间维持在每个实例约 0.01 秒，保持 FNO 的速度同时实现几何灵活性。
• Geo-FNO 通过优化几何参数（如翼型样条节点）来实现逆向设计以达到期望的流动特性，前向预测为优化提供指导。