[论文解读] Fourier-Padé approximants for Angelesco systems

Manuel Bello-Hernández, G. López-Lagimasino+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2005

Mathematical functions and polynomials参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文研究了在具有不相交紧支集测度的Angelesco系统（即Markov型函数系统）上，线性和非线性Fourier-Padé逼近的收敛速率。通过使用势论及对测度的正则性条件，作者以平衡测度和能量泛函的形式推导出收敛速率，将经典Padé结果推广至正交多项式基下的多点有理逼近。

ABSTRACT

In this paper we study linear and non-linear Fourier-Padé approximation for Angelesco systems of functions. This construction is similar to that of Hermite-Padé approximation. Instead of considering power series expansions of the functions in the system, we take their expansion in a series of orthogonal polynomials.

研究动机与目标

• 将经典Padé逼近理论推广至具有不相交支集测度的Markov函数系统。
• 分析此类系统上线性与非线性Fourier-Padé逼近的收敛行为。
• 以Green函数和平衡测度等势论量表示收敛速率的定量结果。
• 将单函数Padé逼近的结果推广至正交多项式展开中的多点有理逼近。
• 在底层测度满足正则性假设的条件下，刻画逼近器的渐近行为。

提出的方法

• 将Angelesco系统定义为与不相交、紧支集的Borel测度相关联的m元Markov函数组。
• 通过在参考测度 $\sigma_0$ 下对多项式空间进行正交投影，构造线性Fourier-Padé逼近。
• 将逼近问题表述为分母多项式 $Q_{\mathbf{n}}$ 的系数的齐次线性系统。
• 通过求解一个非线性系统，使误差与 $\sigma_0$-正交多项式正交，从而定义非线性Fourier-Padé逼近。
• 运用势论，包括Green函数和能量泛函，分析渐近行为。
• 使用正则测度（Reg类）和平衡测度的概念，以对数势和互能量的形式推导收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 Angelesco系统中线性Fourier-Padé逼近的收敛速率是什么？
• RQ2 此类系统中非线性Fourier-Padé逼近的渐近行为如何？
• RQ3 收敛速率能否以Green函数和平衡测度等势论量表示？
• RQ4 底层测度的正则性在决定收敛速度方面起什么作用？
• RQ5 互能量和向量平衡问题如何影响逼近器的渐近行为？

主要发现

• 对于每个多指标 $\mathbf{n}$，Angelesco系统的线性Fourier-Padé逼近在常数因子意义下唯一确定。
• 对于正则测度，线性逼近的收敛速率由相关势论问题的平衡测度决定。
• 线性Fourier-Padé逼近对角序列的收敛速率以 $\sigma_0$ 支集补集的Green函数表示。
• 与系统相关的能量泛函 $J(\mu)$ 在唯一向量测度 $\overline{\mu}$ 处取最小值，该测度对应于平衡势解。
• 互能量 $J(\mu^1, \mu^2)$ 和总能量 $J(\mu)$ 在弱拓扑下是下半连续的，从而保证极小化子的存在与唯一性。
• 向量平衡测度 $\overline{\mu}$ 满足条件 $W_j^{\overline{\mu}}(x) = w_j^{\overline{\mu}}$ 对所有 $x \in \text{supp}(\overline{\mu}_j)$ 成立，从而将其刻画为平衡问题的解。