[论文解读] Fourier reconstruction for diffraction tomography of an object rotated into arbitrary orientations

Clemens Kirisits, Michael Quellmalz+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2021

Digital Holography and Microscopy参考文献 35被引用 17

一句话总结

本文提出了一种用于在任意时变取向下在光阱中旋转的刚性粒子的光学衍射断层扫描（ODT）的新颖傅里叶重建方法。通过利用已知的运动参数，并在Born或Rytov近似下对傅里叶衍射定理进行严格的分布形式化，作者推导出可实现高效3D重建的反投影公式，该方法采用非均匀离散傅里叶变换，即使在不规则采样和复杂运动下，也能有效解决‘缺失圆锥’问题。

ABSTRACT

In this paper, we study the mathematical imaging problem of optical diffraction tomography (ODT) for the scenario of a microscopic rigid particle rotating in a trap created, for instance, by acoustic or optical forces. Under the influence of the inhomogeneous forces the particle carries out a time-dependent smooth, but complicated motion described by a set of affine transformations. The rotation of the particle enables one to record optical images from a wide range of angles, which largely eliminates the "missing cone problem" in optics. This advantage, however, comes at the price that the rotation axis in this scenario is not fixed, but continuously undergoes some variations, and that the rotation angles are not equally spaced, which is in contrast to standard tomographic reconstruction assumptions. In the present work, we assume that the time-dependent motion parameters are known, and that the particle's scattering potential is compatible with making the first order Born or Rytov approximation. We prove a Fourier diffraction theorem and derive novel backprojection formulae for the reconstruction of the scattering potential, which depends on the refractive index distribution inside the object, taking its complicated motion into account. This provides the basis for solving the ODT problem with an efficient non-uniform discrete Fourier transform.

研究动机与目标

• 解决在刚性粒子于光阱中以非均匀、时变运动旋转时，光学衍射断层扫描（ODT）中3D折射率重建的挑战。
• 通过利用粒子旋转带来的大角度采样，即使旋转轴和角度分布不规则，也克服传统ODT中的“缺失圆锥问题”。
• 建立一种数学上严谨的基于傅里叶的重建框架，以考虑成像过程中粒子发生的任意仿射变换（旋转与平移）。
• 建立适用于不规则采样和非均匀运动的傅里叶衍射定理的分布形式化，以实现稳定且精确的重建。
• 为在复杂时变粒子运动下，利用逆非等距离散傅里叶变换（NDFT）实现高效数值重建提供基础。

提出的方法

• 使用一阶Born或Rytov近似对散射问题进行线性化，假设粒子为弱散射体。
• 推导出傅里叶衍射定理的严格分布形式，将测量到的散射场与散射势的3D傅里叶变换联系起来。
• 在k空间（傅里叶空间）中引入反投影公式，通过散射势的仿射变换引入随时间变化的粒子运动。
• 通过推导从k空间到物理测量坐标的变换的雅可比行列式，考虑傅里叶域中的非均匀采样，从而实现从不规则分布数据的精确重建。
• 提出使用逆非等距离散傅里叶变换（NDFT）以实现高效数值重建，避免正则化或迭代求解器。
• 利用勒贝格控制收敛定理和索伯列夫嵌入定理，证明在逼近序列极限下重建公式的收敛性，确保数学上的稳健性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当粒子旋转非均匀且观测角度不规则采样时，如何从光学衍射数据中重建刚性旋转粒子的3D散射势？
• RQ2 在光学衍射断层扫描中，对于任意时变粒子运动（仿射变换）下的傅里叶衍射定理，其数学形式化是什么？
• RQ3 如何在分布设定下推导反投影公式，以确保在不规则采样下具有数学严谨性和稳定性？
• RQ4 从k空间到物理坐标的变换的雅可比行列式在实现从非均匀采样数据中精确重建中的作用是什么？
• RQ5 逆非等距离散傅里叶变换（NDFT）能否有效用于重建散射势，而无需正则化或迭代优化？

主要发现

• 在任意时变粒子运动下，为光学衍射断层扫描建立了傅里叶衍射定理的严格分布形式化，实现了从不规则采样数据的重建。
• 作者推导出显式的k空间反投影公式，能够完整考虑成像过程中粒子随时间变化的仿射变换（旋转与平移）的复杂性。
• 从k空间到物理坐标的变换的雅可比行列式以闭式推导得出，表明其局部可积且有界，从而确保了重建过程的数学有效性。
• 所提出的重建方法在逼近序列极限下表现出稳定性和收敛性，其收敛性通过勒贝格控制收敛定理和索伯列夫嵌入定理得到证明。
• 所提出的方法利用逆非等距离散傅里叶变换（NDFT）实现了高效的3D重建，避免了迭代正则化或全波形反演的需求。
• 该框架通过利用粒子旋转实现的大角度采样，成功缓解了ODT中的“缺失圆锥”问题，即使旋转轴和角度分布不均匀也有效。