[论文解读] Fourier-Stieltjes coefficients of the Minkowski question mark function

Giedrius Alkauskas|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2010

Point processes and geometric inequalities参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文研究了闵可夫斯基问题函数的傅里叶-史蒂尔杰斯系数 $ d_n $，提出了一项改进的猜想，该猜想蕴含了萨勒姆在1943年提出的问题——即这些系数在无穷远处是否趋于零——为真。通过利用zeta函数，本文建立了这些系数之间的无限线性恒等式，并提出了一种高精度计算相关zeta函数特殊值的方法，通过涉及矩和特殊函数的级数，实现了超过30位有效数字的精度。

ABSTRACT

In this paper we investigate the Fourier-Stieltjes coefficients of the Minkowski question mark function. In 1943, R. Salem asked whether these coefficients vanish at infinity. We propose the conjecture which implies the affirmative answer to Salem's problem. Further, we prove infinite linear identities among these Fourier-Stieltjes coefficients. We also provide a method to numerically calculate special values at integers of the associated zeta function with a high precision (more than 30 digits).

研究动机与目标

• 解决萨勒姆在1943年提出的问题：闵可夫斯基问题函数的傅里叶-史蒂尔杰斯系数 $ d_n $ 在 $ n \to \infty $ 时是否趋于零。
• 利用zeta函数和特殊值，建立系数 $ d_n $ 之间的无限线性关系。
• 开发一种高精度数值方法，用于计算与 $ d_n $ 相关的zeta函数的特殊值。
• 在对称性和连续性约束下，通过规范线性恒等式唯一刻画系数 $ d_n $。

提出的方法

• 对每个奇数 $ r \in \mathbb{N} $，推导出一个规范恒等式，表达为 $ \sum_{n=1}^\infty \xi_{r,n} d_n = A_r $，其中系数涉及 $ \Gamma(s) $、$ \zeta(s) $、$ \pi $、$ \log n $ 和定积分。
• 利用函数方程 $ F(x) + F(1/x) = 1 $，其中 $ F(x) = ?(x/(x+1)) $，推导出基于对称性的 $ d_n $ 恒等式。
• 应用拉普拉斯-傅里叶变换 $ \mathfrak{m}(t) = \int_0^1 e^{xt} d?(x) $，其中 $ d_n = \mathfrak{m}(2\pi i n) $，将系数与zeta函数联系起来。
• 使用泰勒级数 $ \pi \cot(\pi x) = \frac{1}{x} - 2\sum_{n=1}^\infty \zeta(2n) x^{2n-1} $，将余割核在 $ \mathfrak{M}(1) $ 的积分表示中展开。
• 利用恒等式 $ \int_0^1 (?(x) - x) x^{2n-1} dx = \frac{1}{2n(2n+1)} - \frac{m_{2n}}{2n} $，其中 $ m_n $ 为测度的矩，将 $ \mathfrak{M}(1) $ 表示为快速收敛的级数。
• 利用已知的矩 $ m_n $ 的结果，其衰减形式为 $ n^{1/4} C^{-\sqrt{n}} $，其中 $ C = e^{-2\sqrt{=\log 2}} $，以确保数值计算中的快速收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 闵可夫斯基问题函数的傅里叶-史蒂尔杰斯系数 $ d_n $ 在 $ n \to \infty $ 时是否趋于零，从而解决萨勒姆的问题？
• RQ2 是否可以建立 $ d_n $ 之间的无限线性恒等式，其规范结构是什么？
• RQ3 精确值 $ \mathfrak{M}(1) = \sum_{n=1}^\infty \frac{d_n}{n} $ 是多少，如何以高精度计算？
• RQ4 与 $ d_n $ 相关的zeta函数的特殊值行为如何，其解析结构是什么？

主要发现

• 本文证明了对每个奇数 $ r \in \mathbb{N} $，存在一个规范线性恒等式 $ \sum_{n=1}^\infty \xi_{r,n} d_n = A_r $，该恒等式绝对收敛，且其系数为显式代数常数，涉及 $ \Gamma(s) $、$ \zeta(s) $、$ \pi $、$ \log n $ 和定积分。
• 当 $ r = 1 $ 时最简单的恒等式为 $ \frac{3}{4} \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \log n - \frac{1}{4} \log 2\pi - \sum_{n=1}^\infty \frac{d_n}{4n} - \sum_{n=1}^\infty \frac{1 - d_n}{\pi n} \int_n^\infty \frac{\sin(2\pi x)}{5 - 4\cos(2\pi x)} \frac{dx}{x} = 0 $。
• 常数 $ \mathfrak{M}(1) = \sum_{n=1}^\infty \frac{d_n}{n} $ 以超过30位有效数字的精度计算为 $ -0.455959203740245619075047841829\ldots $。
• 值 $ \mathfrak{M}(1) $ 通过一个快速收敛级数表达：$ \mathfrak{M}(1) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(\zeta(2n)-1) m_{2n}}{n} - 3 \sum_{n=1}^\infty \frac{m_n}{n \cdot 2^n} - \log \pi + \log 4 $，其中 $ m_n $ 为测度的矩。
• 矩 $ m_n $ 的衰减形式为 $ n^{1/4} C^{-\sqrt{n}} $，其中 $ C = e^{-2\sqrt{\log 2}} \approx 0.18916 $，确保了级数的快速收敛。
• 该方法可实现对与 $ d_n $ 相关的zeta函数在奇数正整数处的其他特殊值的高精度数值计算。