[论文解读] Fourier transform and expanding maps on Cantor sets

Tuomas Sahlsten, Connor Stevens|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 5

一句话总结

本文在具有有界畸变的均匀扩张映射生成的康托集上，建立了吉布斯测度的多项式傅里叶衰减，证明当映射完全非线性时，傅里叶变换 $\widehat{\mu}(\xi)$ 的衰减为 $O(|\xi|^{-\alpha})$（$\alpha > 0$）。该结果依赖于通过畸变函数 $\tau = \log|T'|$ 的上同调性质控制导数的非集中性，推广了先前关于高斯型映射和富克斯群测度的研究。

ABSTRACT

We study the Fourier transforms $\widehatμ(ξ)$ of non-atomic Gibbs measures $μ$ for uniformly expanding maps $T$ of bounded distortions on $[0,1]$ or Cantor sets with strong separation. When $T$ is totally non-linear, then $\widehatμ(ξ) o 0$ at a polynomial rate as $|ξ| o \infty$.

研究动机与目标

• 建立与一致扩张映射相关的康托集上非原子吉布斯测度 $\mu$ 的傅里叶变换 $\widehat{\mu}(\xi)$ 的多项式衰减。
• 识别出傅里叶衰减发生的动力学条件——特别是完全非线性和有界畸变——从而将结果推广至非线性或自相似系统之外。
• 用上同调方法替代先前工作中依赖的丢番图逼近技术，以控制测度轨道结构中导数的非集中性。
• 将关于高斯映射和富克斯群测度的傅里叶衰减结果推广至具有非线性逆分支的更广泛的一类扩张区间映射。

提出的方法

• 证明使用傅里叶变换的多尺度分解，将频率空间划分为二元区间 $J_n(\varepsilon)$，并分析符号柱集上的振荡和。
• 引入了‘分布良好’块 $\mathcal{W}$ 与‘坏’块 $\mathcal{R}_n^{k+1}(\varepsilon)\setminus\mathcal{W}$ 的概念，根据相位函数的等分布性分离贡献。
• 通过引理 4.3 应用离散化的和积估计，控制 $\mathcal{R}_n^k(\varepsilon)$ 上的指数和，利用映射 $\zeta_{j,\mathbf{A}}$ 的非集中性。
• 利用畸变函数 $\tau = \log|T'|$ 控制相位函数 $\zeta_{j,\mathbf{A}}(\mathbf{b})$ 的增长，表明上同调性质可防止导数集中。
• 通过转移算子的谱间隙估计与 $n$ 的指数衰减相结合，控制 $|\widehat{\mu}(\xi)|^2$ 的 $L^2$-型估计中的总误差项。
• 关键步骤是证明对 $\eta \in J_n(\varepsilon)$ 有 $|\eta| \geq C_{\varepsilon,n}^{-1}e^{\varepsilon_0 n/2}$，从而可在指数和估计中使用 $O(|\eta|^{-\varepsilon_2})$ 衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 在扩张映射 $T$ 的何种动力学条件下，吉布斯测度 $\mu$ 的傅里叶变换在无穷远处呈现多项式衰减？
• RQ2 是否可以在不依赖丢番图逼近或随机游走更新理论的前提下，建立 $\mu$ 的傅里叶衰减？
• RQ3 畸变函数 $\tau = \log|T'|$ 的上同调结构如何影响轨道上导数的非集中性？
• RQ4 关于高斯型映射和富克斯群测度的傅里叶衰减结果，能在多大程度上推广至具有非线性分支的更广泛扩张映射类？

主要发现

• 对于完全非线性、具有有界畸变的一致扩张映射生成的康托集上的非原子吉布斯测度 $\mu$，其傅里叶变换 $\widehat{\mu}(\xi)$ 在 $|\xi| \to \infty$ 时呈现多项式衰减 $O(|\xi|^{-\alpha})$（$\alpha > 0$）。
• 衰减速率通过证明：由 $\tau = \log|T'|$ 的上同调性质控制的导数非集中性条件，可防止测度在共振频率上集中而确立。
• 证明避免了对丢番图逼近或独立性假设的依赖，转而使用离散化设定下的和积估计，并将其应用于相位函数 $\zeta_{j,\mathbf{A}}$。
• $|\widehat{\mu}(\xi)|^2$ 的 $L^2$-估计中的误差项通过谱间隙估计与 $n$ 的指数衰减得到控制，确保主导项呈多项式衰减。
• 该结果推广了先前关于高斯映射和帕特森-塞尔弗里奇测度的研究，得益于斯托扬诺夫的工作，不再需要测度维数接近吸引子维数的条件。