[论文解读] Fourier transform and its inverse for functions of bicomplex variables

Abhijit Banerjee, Sanjib Kumar Datta+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2014

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 2被引用 2

一句话总结

本文通过将双复变函数投影到其幂等分量上，提出了一种针对双复变函数的傅里叶变换，将每个分量视为辅助复平面。该研究建立了该变换的存在性及其收敛区域，并推导出其关键性质，将经典傅里叶分析推广至双复数域，奠定了严谨的数学基础。

ABSTRACT

This paper examines the existence and region of convergence of Fourier transform of the functions of bicomplex variables with the help of projection on its idempotent components as auxiliary complex planes. Several basic properties of this bicomplex version of Fourier transform are examined.

研究动机与目标

• 将经典傅里叶变换推广至双复变函数，后者通过引入两个虚数单位而推广复数概念。
• 通过投影到幂等分量，研究双复傅里叶变换的存在性及其收敛区域。
• 研究线性、可逆性以及卷积下变换行为等基本性质。
• 为双复代数中的调和分析提供理论框架，支持在高维信号处理与数学物理中的应用。

提出的方法

• 利用双复数的代数结构，将双复函数分解为其幂等分量。
• 将每个幂等分量视为复平面上的函数，从而可应用标准复傅里叶变换技术。
• 分别在每个分量上定义傅里叶变换，并将结果重新组合以形成双复傅里叶变换。
• 通过分析变换在每个幂等分量中的行为来研究收敛性，从而得出收敛区域的条件。
• 利用幂等分解的性质，推导出线性、唯一性及反演公式等关键性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于双复变函数具有非交换性和非域结构，如何将其傅里叶变换进行推广？
• RQ2 双复傅里叶变换的收敛区域是什么？其如何依赖于函数在幂等分量中的行为？
• RQ3 双复傅里叶变换的基本性质（如线性性、可逆性及卷积规则）是什么？
• RQ4 与直接方法相比，幂等分解如何促进双复傅里叶变换的分析？

主要发现

• 当函数在每个幂等分量上可积时，双复傅里叶变换存在，其收敛性由这些辅助复平面上的行为决定。
• 该变换唯一定义且可逆，其反演变换可通过标准复反演从幂等分量中恢复。
• 该变换保持线性性，并在双复代数中的函数上满足卷积定理。
• 收敛区域由两个幂等分量中收敛区域的交集表征，反映了双复结构的特性。