[论文解读] Fourier Transform of Rauzy Fractals and Point Spectrum of 1D Pisot Inflation Tilings

Michael Baake, Uwe Grimm|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2019

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 44被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的矩阵Riesz积方法，用于计算一维Pisot膨胀填充的Rauzy分形窗的傅里叶变换，从而能够显式计算其衍射的纯点谱分量以及相关动力系统的特征函数。该方法依赖于内部空间中的收缩型傅里叶矩阵cocycle，以无限矩阵积的形式获得快速收敛且计算高效的谱量表达式。

ABSTRACT

Primitive inflation tilings of the real line with finitely many tiles of natural length and a Pisot--Vijayaraghavan unit as inflation factor are considered. We present an approach to the pure point part of their diffraction spectrum on the basis of a Fourier matrix cocycle in internal space. This cocycle leads to a transfer matrix equation and thus to a closed expression of matrix Riesz product type for the Fourier transforms of the windows for the covering model sets. In general, these windows are complicated Rauzy fractals and thus difficult to handle. Equivalently, this approach permits a construction of the (always continuously representable) eigenfunctions for the translation dynamical system induced by the inflation rule. We review and further develop the underlying theory, and illustrate it with the family of Pisa substitutions, with special emphasis on the Tribonacci case.

研究动机与目标

• 开发一种构造性方法，用于计算具有有限原型的1D Pisot膨胀填充的纯点谱分量。
• 克服显式计算Rauzy分形窗傅里叶变换的困难，这些窗在拓扑上规则但具有分形且复杂的结构。
• 利用基于傅里叶矩阵cocycle导出的矩阵Riesz积，为这些窗的傅里叶变换提供闭式且计算高效的表达式。
• 通过均匀分布建立原始填充点集与覆盖模型集的傅里叶–Bohr系数之间的直接联系。
• 在关键示例（包括Tribonacci和Pisa替换系统）上展示该方法，并将其推广至更高覆盖度。

提出的方法

• 基于膨胀规则和替换矩阵，在内部空间中引入一个傅里叶矩阵cocycle，导出转移矩阵方程。
• 将矩阵Riesz积定义为迭代矩阵积的极限，由于系统的收缩性质，其收敛速度呈指数级。
• 通过Minkowski映射将填充嵌入内部空间，将其表示为实向量空间中具有窗的覆盖模型集。
• 推导出Rauzy窗的傅里叶变换，其形式为包含极限cocycle矩阵与归一化Perron–Frobenius特征向量的矩阵内积。
• 建立一个均匀分布结果，将原始填充的谱数据与覆盖模型集的谱数据联系起来。
• 将该方法应用于具体示例，包括Tribonacci和Pisa替换系统，并推导出窗的傅里叶变换的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管具有分形复杂性，如何以闭式表达Rauzy分形窗在1D Pisot膨胀填充中的傅里叶变换？
• RQ2 原始膨胀点集的傅里叶–Bohr系数与覆盖模型集的傅里叶–Bohr系数之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否使用基于矩阵的方法显式计算此类填充的纯点谱分量？
• RQ4 矩阵Riesz积构造与平移动力系统特征函数之间有何关系？
• RQ5 矩阵积表示的收敛速率如何？与其它解析表达式相比有何差异？

主要发现

• Rauzy窗的傅里叶变换可表示为形式为 C(y) = lim_{n→∞} |σ|^n B^{(n)}(y) 的矩阵Riesz积，其收敛速度呈指数级。
• 对于Tribonacci和Pisa替换系统，该方法可为傅里叶变换提供显式闭式表达式，例如，对于W₁窗有 f₁(y) = -∑_{n≥0} σ^{4n+1} e^{-πi(2σ+2σ^{4n}+σ^{4n+1})y} sinc(πσ^{4n+1}y)。
• 窗的总长度 vol(W₁) 为 τ/√5 ≈ (τ+2)/5，与傅里叶变换在 y=0 处的取值一致。
• 该方法通过2:1因子映射在原始填充与覆盖模型集的谱数据之间建立了直接联系，实现了谱的传递。
• 平移动力系统的特征函数可连续表示，并可通过相同的矩阵cocycle方法计算。
• 由于矩阵积的快速收敛，该方法计算效率高，使得谱量可被用于数值与解析研究。