[论文解读] Fourth order finite difference methods for the wave equation with mesh refinement interfaces

Siyang Wang, N. Anders Petersson|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2018

Numerical methods in engineering参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对带有网格局部加密界面的波动方程的四阶精度有限差分方法，采用求和分解（SBP）算子。通过发现带虚拟点与不带虚拟点的SBP算子之间的一种新关系，作者开发了一种新型SBP-GP方法，该方法仅在界面的一侧使用虚拟点，从而减小了系统规模并改善了条件数，同时保持了四阶精度和能量稳定性。与基于罚函数的方法相比，该方法允许采用更大的时间步长。

ABSTRACT

We analyze two types of summation-by-parts finite difference operators for approximating the second derivative with variable coefficient. The first type uses ghost points, while the second type does not use any ghost points. A previously unexplored relation between the two types of summation-by-parts operators is investigated. By combining them we develop a new fourth order accurate finite difference discretization with hanging nodes on the mesh refinement interface. We take the model problem as the two-dimensional acoustic wave equation in second order form in terms of acoustic pressure, and prove energy stability for the proposed method. Compared to previous approaches using ghost points, the proposed method leads to a smaller system of linear equations that needs to be solved for the ghost point values. Another attractive feature of the proposed method is that the explicit time step does not need to be reduced relative to the corresponding periodic problem. Numerical experiments, both for smoothly varying and discontinuous material properties, demonstrate that the proposed method converges to fourth order accuracy. A detailed comparison of the accuracy and the time-step restriction with the simultaneous-approximation-term penalty method is also presented.

研究动机与目标

• 开发一种在具有悬挂节点的非均匀结构化笛卡尔网格上求解波动方程的高阶精度、能量稳定的有限差分方法。
• 通过仅在网格局部加密界面的一侧使用虚拟点，降低虚拟点更新的计算成本。
• 建立带虚拟点与不带虚拟点的SBP算子之间的理论联系，以改进离散化设计。
• 对光滑和不连续的材料特性均实现四阶收敛。
• 将新提出的SBP-GP方法与传统的SBP-SAT（罚函数）方法在效率和稳定性方面进行比较。

提出的方法

• 该方法采用具有求和分解性质的四阶精度SBP有限差分离散化，以确保能量稳定性。
• 提出了一种新型SBP-GP公式，仅在局部加密界面的粗网格侧使用虚拟点，从而减少了线性系统中的未知数数量。
• 通过一种此前未被探索的数学关系，将带虚拟点与不带虚拟点的SBP算子相结合，实现了单侧虚拟点处理。
• 通过插值和限制模板强加界面条件，保持了四阶精度。
• 该方法被扩展至二维，并通过声压的二阶波动方程进行了验证。
• 推导了离散能量估计以证明稳定性，且表明时间步长限制接近周期性问题的冯诺依曼极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种仅使用单侧虚拟点的四阶精度SBP有限差分方法，用于带有网格局部加密界面的波动方程？
• RQ2 使用虚拟点与不使用虚拟点的SBP算子之间存在何种关系？该关系如何被用于提升精度和效率？
• RQ3 新提出的SBP-GP方法在光滑和不连续材料特性下的稳定性与收敛率，与SBP-SAT（罚函数）方法相比如何？
• RQ4 对于具有悬挂节点的非周期性问题，新方法是否能保持接近冯诺依曼极限的时间步长限制？
• RQ5 所提出的方法能否扩展至更高阶精度和具有真实地形的三维问题？

主要发现

• 数值实验验证了所提出的SBP-GP方法在光滑和不连续材料特性下均实现了四阶收敛。
• 与双侧虚拟点方法相比，该方法在虚拟点更新中形成了更小且更良态的线性系统。
• 新SBP-GP方法的时间步长限制非常接近对应周期性问题的冯诺依曼极限，从而实现了高效的显式时间积分。
• 相比之下，SBP-SAT方法需要更小的时间步长，且其时间步长依赖于罚参数，除非进行修正，否则仅能实现三阶收敛。
• 通过两种改进措施，修正后的SBP-SAT方法可实现四阶收敛，但即使在相同网格和时间步长下，其解误差仍大于SBP-GP方法。
• 新提出的SBP-GP方法具有能量稳定性，并且在子域与不连续界面对齐时，即使存在材料参数的不连续性，也能保持高阶精度。