[论文解读] Foxby equivalence, local duality and Gorenstein homological dimensions

Fatemeh Mohammadi Aghjeh Mashhad, Kamran Divaani-Aazar|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2010

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文通过广义局部上同调模在交换代数中建立了一个将Foxby对偶性和局部对偶性联系起来的对偶性框架。它证明了在带有归一化对偶化复形的局部环上，对于同调有界的复形 $X$ 和 $Y$，$\mathfrak{m}$-截取 $\mathbf{R}\operatorname{Hom}_R(X,Y)$ 同构于 $\mathbf{R}\operatorname{Hom}_R(Y, D \otimes_R^L X)$ 的Matlis对偶，将经典局部对偶性推广到Gorenstein同调设定，并在此背景下证明了Grothendieck的非零性定理。

ABSTRACT

Let $(R,\fm)$ be a local ring and $(-)^{\vee}$ denote the Matlis duality functor. We investigate the relationship between Foxby equivalence and local duality through generalized local cohomology modules. Assume that $R$ possesses a normalized dualizing complex $D$ and $X$ and $Y$ are two homologically bounded complexes of $R$-modules with finitely generated homology modules. We present several duality results for $\fm$-section complex ${\bf R}Γ_{\fm}({\bf R}\Hom_R(X,Y))$. In particular, if G-dimension of $X$ and injective dimension of $Y$ are finite, then we show that $${\bf R}Γ_{\fm}({\bf R}\Hom_R(X,Y))\simeq ({\bf R}\Hom_R(Y,D\otimes_ R^{\bf L}X))^{\vee}.$$ We deduce several applications of these duality results. In particular, we establish Grothendieck's non-vanishing Theorem in the context of generalized local cohomology modules.

研究动机与目标

• 通过广义局部上同调模统一Foxby对偶性与局部对偶性。
• 将经典的局部对偶定理推广到具有有限G-维数或Gorenstein内射维数的复形上。
• 在广义局部上同调的背景下建立Grothendieck的非零性定理。
• 研究在Gorenstein同调条件下上同调维数与零化子理想的行为。

提出的方法

• 使用Matlis对偶函子 $(-)^\vee = \operatorname{Hom}_R(-, E(R/\mathfrak{m}))$ 来关联导出Hom复形。
• 应用导出张量积 $D \otimes_R^L X$，其中 $D$ 是一个归一化的对偶化复形。
• 在有限G-维数或内射维数条件下，建立对偶同构：$\mathbf{R}\Gamma_{\mathfrak{m}}(\mathbf{R}\operatorname{Hom}_R(X,Y)) \simeq (\mathbf{R}\operatorname{Hom}_R(Y, D \otimes_R^L X))^\vee$。
• 通过忠实平坦基变换到 $\widehat{R}$ 将问题约化到完备情形，同时保持同调不变量。
• 利用Grothendieck的非零性定理及Aushlander范畴的性质推导上同调界。
• 利用有限射影/内射维数模的子范畴与其对偶在与典范模张量后的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Foxby对偶性在导出范畴框架下如何与局部对偶性相互作用？
• RQ2 经典的局部对偶定理能否推广到具有有限G-维数或Gorenstein内射维数的复形上？
• RQ3 当 $X$ 具有有限G-维数且 $N$ 具有有限内射维数时，上同调维数 $\operatorname{cd}_{\mathfrak{m}}(X,N)$ 是什么？
• RQ4 在何种条件下 $\operatorname{cd}_{\mathfrak{m}}(X,N) = \dim R - \ell_R(\operatorname{Ann}_R N, X)$ 成立？
• RQ5 Grothendieck的非零性定理在Gorenstein设定下的广义局部上同调模中是否成立？

主要发现

• 当 $X$ 具有有限G-维数且 $Y$ 具有有限内射维数时，对偶同构 $\mathbf{R}\Gamma_{\mathfrak{m}}(\mathbf{R}\operatorname{Hom}_R(X,Y)) \simeq (\mathbf{R}\operatorname{Hom}_R(Y, D \otimes_R^L X))^\vee$ 成立。
• 当 $X$ 具有有限射影维数或有限G-维数且 $N$ 具有有限射影维数时，上同调维数 $\operatorname{cd}_{\mathfrak{m}}(X,N)$ 满足 $\dim R - \ell_R(\operatorname{Ann}_R N, X) \leq \operatorname{cd}_{\mathfrak{m}}(X,N) \leq \dim R - \ell_R(\operatorname{Ann}_R N, X)$。
• 当 $N$ 具有有限内射维数或有限Gorenstein内射维数且 $X$ 具有有限射影或内射维数时，$\operatorname{cd}_{\mathfrak{m}}(X,N) = \dim R - \ell_R(\operatorname{Ann}_R N, X)$。
• 在各种Gorenstein同调有限性条件下，有交集不等式 $\dim_R N \leq \dim_R \mathbf{R}\operatorname{Hom}_R(M,N) \leq -\inf \mathbf{R}\operatorname{Hom}_R(M,N) + \dim_R(M \otimes_R N)$。
• Grothendieck的非零性定理被推广：在指定的有限性假设下，$\operatorname{cd}_{\mathfrak{m}}(M,N) = \dim_R \mathbf{R}\operatorname{Hom}_R(M,N)$ 成立。
• 上同调维数与零化子滤子在完备化下保持不变，从而可将问题约化到存在归一化对偶化复形的完备情形。