[论文解读] $\frac{1}{2}$-derivations of Lie algebras and transposed Poisson algebras

Bruno Leonardo Macedo Ferreira, Ivan Kaygorodov+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 47被引用 26

一句话总结

本文建立了李代数的1/2-导子与对偶泊松代数结构之间的对应关系，证明此类代数恰好在结合部分的右乘法是李部分的1/2-导子时出现。主要贡献是对特定李代数上对偶泊松结构的完整分类：在维特定代数（Witt代数）、W(a, -1)、细李代数以及幂零根为交换群且余维数为1的可解李代数上存在非平凡结构，而在半单有限维李代数、维拉索罗代数以及N=1和N=2超共形代数上则不存在非平凡结构。

ABSTRACT

A relation between $\frac{1}{2}$-derivations of Lie algebras and transposed Poisson algebras was established. Some non-trivial transposed Poisson algebras with a certain Lie algebra (Witt algebra, algebra $\mathcal{W}(a,-1)$, thin Lie algebra and solvable Lie algebra with abelian nilpotent radical) were constructed. In particular, we constructed an example of the transposed Poisson algebra with associative and Lie parts isomorphic to the Laurent polynomials and the Witt algebra. On the other side, it was proven that there are no non-trivial transposed Poisson algebras with Lie algebra part isomorphic to a semisimple finite-dimensional algebra, a simple finite-dimensional superalgebra, the Virasoro algebra, $N=1$ and $N=2$ superconformal algebras, or a semisimple finite-dimensional $n$-Lie algebra.

研究动机与目标

• 本文旨在通过将对偶泊松代数结构与1/2-导子联系起来，对特定李代数上的所有对偶泊松代数结构进行分类。
• 研究在各种李代数（包括无限维和有限维）上是否存在非平凡的对偶泊松代数结构。
• 通过分析1/2-导子空间，确定哪些李代数允许存在非平凡的对偶泊松结构。
• 提供一种系统方法，从李部分的1/2-导子和结合部分的右乘法构造对偶泊松代数。
• 目标还包括证明在半单有限维李代数及其相关代数（如维拉索罗代数和超共形代数）上不存在此类结构。

提出的方法

• 主要方法是建立对偶泊松代数结合部分的右乘法与李部分1/2-导子之间的一一对应关系。
• 利用已知的半单有限维李代数的1/2-导子分类，证明在这些代数上不存在非平凡的对偶泊松结构。
• 对于无限维李代数（如维特定代数和W(a, b)），作者通过从1/2-导子条件推导出的递推公式，显式计算了1/2-导子空间。
• 通过对右乘算子为1/2-导子的定义，实现对偶泊松代数的构造。
• 该方法涉及求解由1/2-导子条件和乘法结合性导出的线性方程组。
• 对于细李代数和余维数为1的幂零根为交换群的可解李代数，作者推导出1/2-导子的显式公式，并对满足对偶泊松恒等式的所有可能结合乘法进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个李代数上的对偶泊松代数结构是否都可通过结合部分的右乘法从其李部分的1/2-导子中导出？
• RQ2 哪些李代数允许存在非平凡的对偶泊松代数结构？
• RQ3 是否存在以维特定代数为李部分的非平凡对偶泊松代数？
• RQ4 代数W(a, -1)是否允许存在非平凡的对偶泊松结构？若存在，如何对其进行分类？
• RQ5 在维拉索罗代数、N=1和N=2超共形代数以及余维数为1的幂零根为交换群的可解李代数上，对偶泊松代数的结构是怎样的？

主要发现

• 维特定代数存在无穷多个非平凡对偶泊松代数结构，且W(a, -1)上所有此类结构均已完全分类。
• 当且仅当b ≠ -1时，代数W(a, b)不存在非平凡对偶泊松结构；当b = -1时，所有此类结构均已显式描述。
• 细李代数存在非平凡对偶泊松代数结构，且所有此类结构同构于满足e1 ∗ e1 = ek（k ≥ 2）的结构。
• 余维数为1的幂零根为交换群的可解李代数存在三类不同的同构类的非平凡对偶泊松代数结构，具体取决于右乘法的参数。
• 不存在以半单有限维李代数为李部分的非平凡对偶泊松代数，因为此类代数没有非平凡的1/2-导子。
• 维拉索罗代数、N=1和N=2超共形代数均不存在非平凡对偶泊松代数结构，因为它们与非平凡1/2-导子的存在不相容。