[论文解读] Fractal Models for Normal Subgroups of Schottky Groups

Johannes Jaerisch|arXiv (Cornell University)|May 31, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文利用图导向马尔可夫系统（GDMS）为施瓦茨型克莱尼安群的正规子群引入了径向极限集，证明了这些分形模型的豪斯多夫维数等于全自由群的豪斯多夫维数，当且仅当商群为可约群。该研究扩展了布鲁克斯关于正规子群的结果，证明非可约商群会导致维数严格增大，并给出了超过全群维数一半的下界。

ABSTRACT

For a normal subgroup $N$ of the free group $\F_d$ with at least two generators we introduce the radial limit set $\Lr(N,Φ)$ of $N$ with respect to a graph directed Markov system $Φ$ associated to $\F_d$. These sets are shown to provide fractal models of radial limit sets of normal subgroups of Kleinian groups of Schottky type. Our main result states that if $Φ$ is symmetric and linear, then we have that $\dim_{H}(\Lr(N,Φ))=\dim_{H} \Lr(\F_d,Φ))$ if and only if the quotient group $\F_d /N$ is amenable, where $\dim_{H}$ denotes the Hausdorff dimension. This extends a result of Brooks for normal subgroups of Kleinian groups to a large class of fractal sets. Moreover, we show that if $\F_d /N$ is non-amenable then $\dim_{H}(\Lr(N,Φ))>\dim_{H}(\Lr(\F_d,Φ))/2$, which extends results by Falk and Stratmann and by Roblin.

研究动机与目标

• 为施瓦茨型克莱尼安群的正规子群构建径向极限集的分形模型。
• 根据群论性质（特别是商群的可约性）刻画这些极限集的豪斯多夫维数。
• 通过GDMS将经典关于收敛指数与维数的结果，从克莱尼安群推广到更广泛的分形模型类别。
• 建立极限集的几何维数与商群 $\mathbb{F}_d/N$ 的代数结构之间的精确对应关系。

提出的方法

• 本文为自由群 $\mathbb{F}_d$（$d \geq 2$ 个生成元）构造了一个线性图导向马尔可夫系统（GDMS） $\Phi$，使用具有边特定收缩率的压缩相似变换。
• 通过在移位空间 $\Sigma_\Phi$ 上使用符号动力学，为正规子群 $N \triangleleft \mathbb{F}_d$ 定义了径向极限集 $\Lambda_r(N, \Phi)$ 和一致径向极限集 $\Lambda_{ur}(N, \Phi)$。
• 对于子群 $H \leq \mathbb{F}_d$，通过沿约化字词的收缩率乘积，定义了皮亚诺级数 $P(H, \Phi, s)$ 和收敛指数 $\delta(H, \Phi)$。
• 极限集的豪斯多夫维数通过 $\dim_H(\Lambda_{ur}(N, \Phi)) = \dim_H(\Lambda_r(N, \Phi)) = \delta(N, \Phi)$ 与收敛指数相关联。
• 分析使用了佩龙-弗罗贝尼乌斯算子以及群上随机游动的性质，将转移算子的谱半径与可约性联系起来。
• 使用与施瓦茨型克莱尼安群 $G$ 关联的典范GDMS $\Phi_G$，证明了 $\Lambda_r(N, \Phi_G) = L_r(N)$ 且 $\Lambda_{ur}(N, \Phi_G) = L_{ur}(N)$，从而将符号动力学与几何极限集联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当且仅当什么条件时，自由群 $\mathbb{F}_d$ 的正规子群 $N$ 的径向极限集的豪斯多夫维数等于全自由群的维数？
• RQ2 商群 $\mathbb{F}_d/N$ 的可约性如何影响子群 $N$ 的径向极限集的维数？
• RQ3 当 $\mathbb{F}_d/N$ 为非可约群时，$\Lambda_r(N, \Phi)$ 的豪斯多夫维数的精确下界是什么？
• RQ4 能否通过对称线性GDMS精确建模正规子群径向极限集的分形结构？
• RQ5 子群 $N$ 的皮亚诺级数与收敛指数如何反映 $\mathbb{F}_d/N$ 的结构？

主要发现

• 径向极限集 $\Lambda_r(N, \Phi)$ 的豪斯多夫维数等于 $\Lambda_r(\mathbb{F}_d, \Phi)$ 的豪斯多夫维数，当且仅当商群 $\mathbb{F}_d/N$ 为可约群。
• 若 $\mathbb{F}_d/N$ 为非可约群，则 $\dim_H(\Lambda_r(N, \Phi)) > \dim_H(\Lambda_r(\mathbb{F}_d, \Phi))/2$。
• 对每个非平凡正规子群 $N$，其收敛指数满足 $\delta(N, \Phi) > \delta(\mathbb{F}_d, \Phi)/2$。
• 收敛指数 $\delta(N, \Phi)$ 等于一致径向极限集与径向极限集的豪斯多夫维数：$\dim_H(\Lambda_{ur}(N, \Phi)) = \dim_H(\Lambda_r(N, \Phi)) = \delta(N, \Phi)$。
• 施瓦茨型克莱尼安群 $G$ 的正规子群 $N$ 的径向极限集 $L_r(N)$ 与 $\Lambda_r(N, \Phi_G)$ 一致，其中 $\Phi_G$ 是与 $G$ 关联的典范GDMS。
• 径向极限集 $L_{ur}(N)$ 恰好对应于 $\Lambda_{ur}(N, \Phi_G)$，从而建立了精确的符号-几何对应关系。