[论文解读] Fractal Quantum Phase Transitions: Critical Phenomena Beyond Renormalization

Zheng Zhou, Xuefeng Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2021

Theoretical and Computational Physics参考文献 37被引用 21

一句话总结

该论文在Sierpinski垫片上识别出横向场Newman-Moore模型中的连续量子相变，该相变破坏了分形$Z_2$对称性，表现出具有分形标度维数$d = \ln(3)/\ln(2)$的临界点。通过大规模量子蒙特卡罗模拟和一种新型场论，研究发现由于分形对称性引起的紫外-红外混合，该相变无法用标准重整化群理论处理，导致具有负的异常维数$\eta = -0.19(4)$的普适临界指数。

ABSTRACT

We identify a quantum critical point with fractal symmetry whose effective theory eludes the renormalization group framework. We consider the Newman-Moore model with three-body interaction subjected to an external transverse field, which exhibits a Kramers-Wannier type self-duality and a fractal $Z_2$ symmetry with Ising charge conserved on a fractal subset of sites, i.e., on Sierpinski gaskets. Using large-scale quantum Monte Carlo simulations, we identify a continuous quantum phase transition between a phase with spontaneous fractal symmetry breaking and a paramagnetic phase. This phase transition is characterized by the emergence of a fractal scaling dimension $d=\ln(3)/\ln(2)$ at the quantum critical point, where the power-law exponent of the correlation function is related to the fractal dimension of the Sierpinski triangle. We develop a field theory to elucidate such quantum criticality and denote the fractal scaling as a subsequence of UV-IR mixing, where the low energy modes at the critical point are manipulated by short-wavelength physics due to the fractal symmetry.

研究动机与目标

• 理解具有分形对称性的系统中量子临界性的本质，这类系统无法被传统重整化群理论所捕捉。
• 确定在量子自旋模型中是否可能发生具有自发分形对称性破缺的连续相变。
• 表征此类相变的临界行为，特别是其标度性质和临界指数。
• 构建一种场论以解释临界点处分形标度和紫外-红外混合的出现。
• 评估分形对称性对临界现象的影响，将其与全局对称性驱动的相变区分开来。

提出的方法

• 在具有周期性边界条件的横向场Newman-Moore模型上，采用大规模随机级数展开（SSE）量子蒙特卡罗模拟。
• 利用系统尺寸$L = 8, 11, 13, 16, 20, 23, 26, 32$和反温度$\beta \propto L$进行有限尺寸标度，以外推至热力学极限。
• 实施一种改进的聚类更新算法，尊重分形结构，通过接受概率$P_{\text{acc}} = (J/\epsilon + 1)^{\Delta N}$在Sierpinski垫片聚类内翻转自旋。
• 采用退火协议，施加纵向场$H' = -h\sum_i \sigma_i^z$以克服玻璃态并增强有序相中的遍历性。
• 使用形式$y_L(\Gamma) = Q_L(\Gamma) L^{-\kappa/\nu} / (1 + cL^{-\omega})$对Binder比、序参量、磁化率和比热进行有限尺寸标度。
• 构建一种场论，将临界点识别为紫外-红外混合的子序列，其中短波长物理影响低能模式，这是由于分形对称性所致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自旋模型中是否可能发生具有自发分形对称性破缺的连续量子相变？
• RQ2 与具有全局对称性的系统相比，分形对称性的存在如何改变临界标度行为？
• RQ3 在分形量子临界性中，紫外-红外混合的作用是什么？它如何使标准重整化群方法失效？
• RQ4 该相变的临界指数是否具有普适性？它们是否满足标准标度关系？
• RQ5 能否构建一种场论来描述临界点处出现的分形标度？

主要发现

• 横向场Newman-Moore模型中的量子相变是连续的，其分形标度维数为$d = \ln(3)/\ln(2) \approx 1.585$，与Sierpinski三角形的Hausdorff维数一致。
• Binder比的有限尺寸标度给出$\nu = 0.50(2)$，表明相关长度指数与非平凡临界点一致。
• 序参量标度给出$\beta/\nu = 0.448(8)$，由此得出$\beta = 0.224(5)$，证实了该相变的非平均场性质。
• 磁化率标度给出$\gamma/\nu = 2.19(4)$，且由关系式$\gamma/\nu = 2 - \eta$推得负的异常维数$\eta = -0.19(4)$，这是非平凡临界性的标志。
• 临界指数满足标准标度关系，证实了该相变的普适性，尽管其具有不可重整化性质。
• 该相变由分形对称性引起的紫外-红外混合驱动，其中低能模式受短波长涨落的影响，使该系统超出传统重整化群理论的适用范围。