[论文解读] Fractal Transformations in 2 and 3 Dimensions

Michael F. Barnsley, Brendan Harding|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文通过适配带掩码的迭代函数系统（IFS）算法，并将其应用于体素数据和表面网格，将先前仅用于二维的分形变换扩展至三维。该研究提出一种方法，利用单位立方体上的仿射IFS生成三维吸引子之间的连续、同胚映射，从而在计算机图形学中实现逼真的特效与建模。

ABSTRACT

We present some work relating to fractal transformations on masked iterated function systems and demonstrate how well known algorithms for generating fractal transformations can be modifed for these systems. We also demonstrate that these algorithms work equally well when applied to three dimensional data sets and suggest some possible applications to special effects and modelling.

研究动机与目标

• 通过带掩码的迭代函数系统（IFS）将分形变换推广至三维数据集。
• 将现有的二维分形变换算法（如混沌游戏和像素连接法）适配至三维应用。
• 通过恰当的IFS构造与三角剖分，确保三维分形映射的连续性与同胚性。
• 通过体素与网格数据，展示其在三维建模、特效与数据变换中的实际应用。
• 为未来实时化、并行化与交互式三维分形变换系统的发展奠定基础。

提出的方法

• 在紧致豪斯多夫空间上使用点纤维化IFS定义吸引子与编码映射，确保唯一不动点吸引子。
• 应用混沌游戏与像素连接算法生成三维吸引子集合，对带掩码IFS与高维数据进行相应修改。
• 采用如下形式的仿射变换定义单位立方体上的IFS：$ f_i(x,y,z) = (s_1 x t_{i,1} + ((1-s_1)x + s_1)(1-t_{i,1}), \text{ 以及 } y,z \text{ 的类似表达式})$。
• 要求网格数据在变换前被三角剖分为三角形，以在变换后保持平面性，避免非平面形变。
• 使用Drishti与OpenGL对变换后的体素与网格数据进行三维可视化，支持变换前后的对比检查。
• 通过不同参数集 $\tilde{s} \in (0,1)^3$ 将嵌入一个吸引子（单位立方体）中的数据映射至另一个吸引子，构建分形同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 此前仅限于二维的分形变换，能否有效扩展至体素与表面网格等三维数据集？
• RQ2 为确保在三维环境下的效率与准确性，对现有IFS算法（如混沌游戏、像素连接法）需进行哪些修改？
• RQ3 在应用于复杂三维结构时，分形变换在何种条件下能保持连续性或同胚性？
• RQ4 如何对三维网格数据进行预处理（如三角剖分），以在分形变换过程中保持几何完整性？
• RQ5 三维分形变换在建模、特效与图像合成中的实际应用有哪些？

主要发现

• 通过带掩码的IFS与单位立方体上的仿射映射，可成功将分形变换扩展至三维，生成连续且同胚的映射。
• 所提方法利用一组8个仿射函数，以单位立方体为唯一吸引子，实现对三维体素数据与表面网格的变换。
• 对三维网格进行三角剖分对于保持变换后平面性至关重要，否则分形映射可能导致多边形平面发生形变。
• 对实心球体与葫芦形网格的变换展示了逼真的形变效果，包括内部结构变化与褶皱效果。
• 变换后球体的截面视图显示，同心层被非均匀映射，内部结构得以保留的同时引入复杂性。
• 目前缺乏现成的三维分形变换软件，表明需定制实现，但使用高级数学软件或自定义代码可有效完成。