[论文解读] Fractality and Lapidus zeta functions at infinity

Goran Radunović|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文引入了有限勒贝格测度的无界集在无穷远处的闵可夫斯基维数与内容的概念，并定义了一类新的无穷远处的拉帕杜斯ζ函数，以分析其分形性质。研究证明，该ζ函数的收敛横坐标等于无穷远处的上盒维数，并表明复维数（尤其是非实复维数）可指示分形性，如一个类似康托集的集合，其维数为 $\log_{1/a}2 - (b+1)$，复维数为 $\{-(b+1)\} \cup \left(\log_{1/a}2 - (b+1) + \frac{2\pi}{\log(1/a)}\mathbb{Z}i\right)$。

ABSTRACT

We study fractality of unbounded sets of finite Lebesgue measure at infinity by introducing the notions of Minkowski dimension and content at infinity. We also introduce the Lapidus zeta function at infinity, study its properties and demonstrate its use in analysis of fractal properties of unbounded sets at infinity.

研究动机与目标

• 将相对分形鼓理论推广至无界集，将无穷远点视为参考集。
• 为有限勒贝格测度的无界可测集定义无穷远处的闵可夫斯基维数与内容。
• 引入并研究无穷远处的拉帕杜斯ζ函数，作为检测无界集分形性质的解析工具。
• 证明无穷远处的非实复维数可指示分形振荡，类似于有界情况。
• 提供一个通过二进环形构造的类似康托的无界集的明确例子，其分形维数与复维数可显式计算。

提出的方法

• 将无穷远处的管函数定义为 $|B_t(0)^c \cap \Omega|$（$t \to \infty$），用于度量 $\Omega$ 在大球外部的测度。
• 通过 $|B_t(0)^c \cap \Omega| / t^{N+r}$ 在 $t \to \infty$ 时的 $\limsup$ 与 $\liminf$，引入无穷远处的上、下 $r$-维闵可夫斯基内容。
• 将无穷远处的上、下盒维数定义为闵可夫斯基内容从 $+\infty$ 转变为 $0$ 的临界指数 $D$。
• 将无穷远处的拉帕杜斯ζ函数构造为 $\zeta_{\infty,\Omega}(s) = \int_\Omega |x|^{-s-N} \, dx$，当 $\operatorname{Re} s > \overline{\dim}_B(\infty,\Omega)$ 时收敛。
• 利用ζ函数的收敛横坐标来识别无穷远处的上盒维数。
• 将该理论应用于一个双参数的类似康托集 $\Omega_\infty^{(a,b)}$，显式计算其ζ函数与复维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为无穷远处的无界集定义分形性质（如维数与内容）？
• RQ2 无穷远处的拉帕杜斯ζ函数在表征无界集的分形几何中起什么作用？
• RQ3 无穷远处的非实复维数是否可指示分形振荡，类似于有界情况？
• RQ4 通过二进环形构造的类似康托的无界集的盒维数与复维数结构是什么？
• RQ5 范数选择（如 $|\cdot|_\infty$）如何影响ζ函数及其亚纯开拓？

主要发现

• 无穷远处拉帕杜斯ζ函数的收敛横坐标等于上盒维数：$D(\zeta_{\infty,\Omega}) = \overline{\dim}_B(\infty,\Omega)$。
• 对于双参数集合 $\Omega_\infty^{(a,b)}$，其无穷远处的上盒维数为 $\log_{1/a}2 - (b+1)$。
• 集合 $\Omega_\infty^{(a,b)}$ 在无穷远处的拉帕杜斯ζ函数在 $\mathbb{C}$ 上亚纯，且表达式为 $\zeta_{\infty,\Omega}(s) = \frac{1}{s+b+1} \cdot \frac{1}{a^{-(s+b+1)} - 2}$。
• 通过 $\{\operatorname{Re} s > \log_{1/a}2 - b - 3\}$ 可见的 $\Omega_\infty^{(a,b)}$ 在无穷远处的复维数集合为 $\{-(b+1)\} \cup \left(\log_{1/a}2 - (b+1) + \frac{2\pi}{\log(1/a)}\mathbb{Z}i\right)$。
• 非实复维数的存在证实了 $\Omega_\infty^{(a,b)}$ 在无穷远处具有分形性，其振荡行为与标准康托集类似。
• 当 $r > \log_{1/a}2 - (b+1)$ 时，无穷远处的闵可夫斯基内容为零；当 $r < \log_{1/a}2 - (b+1)$ 时，其为无穷大，从而确认了盒维数的关键作用。