[论文解读] Fractional and fractal derivatives modeling of turbulence

Wen Chen|ArXiv.org|Nov 30, 2005

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 36被引用 14

一句话总结

本文引入了2/3阶分数阶拉普拉斯算子来模拟湍流粒子扩散，揭示了由非线性惯性相互作用与分子扩散共同作用产生的双分形机制。提出了一个描述湍流间歇性的随机方程和一个分数阶雷诺方程，表明分数阶微积分能够通过Lévy 2/3稳定分布有效捕捉湍流的分形时空结构。

ABSTRACT

This study makes the first attempt to use the 2/3-order fractional Laplacian modeling of enhanced diffusing movements of random turbulent particle resulting from nonlinear inertial interactions. A combined effect of the inertial interactions and the molecule Brownian diffusivities is found to be the bi-fractal mechanism behind multifractal scaling in the inertial range of scales of moderate Reynolds number turbulence. Accordingly, a stochastic equation is proposed to describe turbulence intermittency. The 2/3-order fractional Laplacian representation is also used to construct a fractional Reynolds equation for nonlinear interactions of fluctuating velocity components, underlying turbulence spacetime fractal structures of Levy 2/3 stable distribution. The new perspective of this study is that the fractional calculus is an effective approach modeling of chaotic fractal phenomena induced by nonlinear interactions.

研究动机与目标

• 使用分数阶微积分，特别是2/3阶分数阶拉普拉斯算子，来建模湍流粒子扩散。
• 识别中等雷诺数湍流惯性区中多重分形标度背后的机制。
• 基于非线性惯性相互作用和布朗扩散，提出一个描述湍流间歇性的随机方程。
• 构建一个分数阶雷诺方程，以捕捉湍流速度脉动的时空分形结构。
• 证明分数阶微积分为建模由非线性动力学驱动的混沌分形现象提供了一个有效框架。

提出的方法

• 提出2/3阶分数阶拉普拉斯算子，以表征湍流中增强的扩散运动。
• 结合非线性惯性相互作用与分子布朗扩散，以在惯性区建立双分形机制。
• 推导一个随机方程，以描述非线性与扩散效应相互作用下的湍流间歇性。
• 引入分数阶雷诺方程，以建模湍流中速度脉动分量的非线性相互作用。
• 使用Lévy 2/3稳定分布来表征湍流的时空分形结构。
• 应用分数阶微积分，以建模由湍流系统中非线性相互作用引发的混沌分形现象。

实验结果

研究问题

• RQ1 分数阶导数如何建模由非线性惯性相互作用引起的湍流粒子增强扩散？
• RQ2 中等雷诺数湍流惯性区中观察到的多重分形标度背后的机制是什么？
• RQ3 基于分数阶导数的随机方程能否准确描述湍流间歇性？
• RQ4 2/3阶分数阶拉普拉斯算子与湍流速度场的时空分形结构有何关系？
• RQ5 分数阶微积分在多大程度上能有效建模湍流中混沌分形现象？

主要发现

• 2/3阶分数阶拉普拉斯算子能有效建模湍流粒子运动中的增强扩散行为。
• 由非线性惯性相互作用与分子布朗扩散共同作用产生的双分形机制，解释了惯性区中的多重分形标度。
• 所提出的随机方程通过分数阶导数动力学成功捕捉了湍流的间歇性。
• 分数阶雷诺方程准确表征了湍流中速度脉动分量的非线性相互作用。
• 结果表明，湍流时空结构遵循Lévy 2/3稳定分布，揭示其根本的分形特性。
• 分数阶微积分被验证为建模由非线性相互作用在湍流中引发的混沌分形现象的有效工具。